1、第一节 计数原理与排列组合教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，能利用两个原理解决一些简单的实际问题2理解排列与组合的概念及排列数、组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，突出分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以选择、填空题的形式出现.基础梳理1两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案
2、，第1类方案中有m种不同的方法，第2类方案中有n种不同的方法N种不同的方法mn分步乘法计数原理需要两个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有n种不同的方法N种不同的方法mn2.排列3组合三基自测1(选修231.2练习改编)从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A6 B8 C12 D16答案：C2(选修23习题1.2A组改编)2015年北京国际田联世界田径锦标赛，要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A30种B36种C42种D60种答案：B3(选修231.1练习改编)乘积(abc)(defh
3、)(ijklm)展开后共有项答案：604(选修23习题1.1A组改编)如图，从A城到B城有3条路，从B城到D城有4条路，从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有条不同的路线答案：32考点一|计数原理(易错突破)新课标高考第一轮总复习数学(理)第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布列【例1】(1)从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A3 B4C6 D8(2)(2017高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个(用数字作答)(3)(
4、2018济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为解析(1)当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为 32 时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为 12，13，23 时，也有4个故选D.(2)当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35C14A44960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45120.故符合题意的四位数一共有9601201 080(个)(3)按区域1与3是否同色分类：区域1与3同色：先涂区域1与3有
5、4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A 33 种方法区域1与3同色时，共有4A3324(种)方法区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A 24 种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法共有A2421372(种)方法故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为247296.答案(1)D(2)1 080(3)96名师点拨 1.分类加法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分类加法计数原理进行计数时，需要根据完成事件的特点，将要完成一件事的方法进行“分类”计算(2)要求：各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法
6、都可以单独完成这件事2分步乘法计数原理的用法及要求(1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步”计算(2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各个步骤都完成，才算完成这件事3使用这两个原理时，分清是应用“加法”原理，还是“乘法”原理或是两者同时都用跟踪训练(1)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12 D10答案：B(2)a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长和1名副组长，要求a不能当副组长，不同选法的种数是()A20 B16C10 D6答案：B(3)在奥运
7、选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种答案：2 880考点二|排列问题(方法突破)【例2】(1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1,2号相邻，3,4号相邻，5,6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有种排法(用数字作答)(2)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0
8、号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为(用数字作答)(3)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必须排在两端；男女相间解析(1)把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间有A 33 6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中，有A 2412(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有A222(种)排法所以不同的排法种数为23612576.(2)优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择最后两项实验的顺序确
9、定，所以共有 5A55A22300(种)不同的编排方法(3)法一(元素分析法)：先排甲有6种，再排其余人有A 88 种，故共有6A 88 241 920(种)排法法二(位置分析法)：中间和两端有A 38 种排法，包括甲在内的其余6人有A 66 种排法，故共有A38A66336720241 920(种)排法法三(等机会法)：9个人全排列有A 99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A9969241 920(种)法四(间接法)：A993A886A88241 920(种)先排甲、乙，再排其余7人共有A22A7710 080(种)排法(插空法)先排4名男生有A
10、44 种方法，再将5名女生插空，有A 55 种方法，故共有A44A552 880(种)排法名师点拨 求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数跟踪训练(1)把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为15号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A36 B20C12 D10答案：C(2)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依
11、次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A120种B210种C420种D240种答案：D(3)6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有种不同站法答案：480考点三|组合(方法突破)【例3】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种
12、？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解析(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234561(种)取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C 3345 984(种)取法某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C2152 100(种)取法恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215C3152 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)方法一(间接法)选取
13、3种的总数为C335，因此共有选取方式C335C3156 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种方法二(直接法)共有选取方式C320C220C115C120C2156 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种名师点拨 两类含有附加条件的组合问题的解法组合问题常有以下两类题型变化：1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取2“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和
14、间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理跟踪训练(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种C18种D20种答案：B(2)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在“多一个”或“持平”或“少一个”三种可能，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A50种B51种C140种D141种答案：D考点四 排列与组合问题的综合应用(易错突破)【例4】(1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成
15、无重复数字的三位数其中奇数的个数为()A24个B18个C12个D6个(2)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；平均分成三份，每份2本；平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；分成三份，一份4本，另外两份每份1本；甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；甲得1本，乙得1本，丙得4本解析(1)当从0,2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位、百位全排列即可，共有C23C12A2212(个)当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有C23C126(个)综
16、上，共有12618(个)故选B.(2)无序不均匀分组问题先选1本，有C 16 种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25 种选法；最后余下3本全选，有C33种选法故共有C16C25C3360(种)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在的基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33360(种)无序均匀分组问题先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C 26 C 24 C 22 种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(C
17、D，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A 33 种情况，而这A 33 种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 C26C24C22A3315(种)有序均匀分组问题在的基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33A33C26C24C2290(种)无序部分均匀分组问题共有C46C12C11A2215(种)有序部分均匀分组问题在的基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22A3390(种)直接分配问题甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C44种方法，共有C16C15C443
18、0(种)名师点拨 解排列组合综合应用问题的思路解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决跟踪训练(1)(2017高考全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种B18种C24种D36种答案：D(2)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520C600 D720答案：C