1、专题九 立体几何 栏目导航 命题观察高考定位 主干整合归纳拓展 专题限时集训 专家预测巩固提升 命题观察高考定位1.(2017江苏高考)如图 91，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1V2的值是_(对应学生用书第 39 页)32 设球 O 的半径为 R，球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2 的高为 2R，底面半径为 R.V1V2R22R43R3 32.2(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它
2、们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_7 设新的底面半径为 r，由题意得1352422813r24r28，r27，r 7.3(2014江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且S1S294，则V1V2的值是_32 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1，r2 和 h1，h2，由S1S294，得r21r2294，则r1r232.由圆柱的侧面积相等，得 2r1h12r2h2，即 r1h1r2h2，则h1h223，所以V1V2r21h1r22h232.4.(2013江苏高考)如图 92，在三棱
3、柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点设三棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1V2_.124 设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S，高为 h，则其体积为 V2Sh.因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以ADE 的面积等于14S.又因为 F 为 AA1 的中点，所以三棱锥 FADE 的高等于12h，于是三棱锥 FADE 的体积 V11314S12h124Sh 124V2，故 V1V2124.5(2017江苏高考)如图 93，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面ABD平面 BCD，点 E，F(E
4、 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC.【导学号：56394060】证明(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.6.(2016江苏高考)如图 94，在
5、直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.又因为 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1.又因为 A1C1A1B1，
6、A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D.又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.命题规律观近几年江苏的高考题，立体几何的客观题以柱、锥、球为载体考查体积、表面积为主，属容易题；解答题一般都处于解答题第 16 题的位置，也就是属于容易题范畴，考查的难度不大，且都是考查线线、线面或面面的平行与垂直关系的证明从近几年江苏高考试题分析
7、，解答题中考查一道立体几何题型是固定模式，一般与棱柱和棱锥相关，其重点放在对几何体中的一些线、面之间的平行与垂直关系的证明上，突出考查学生的空间想象能力和推理运算能力主干整合归纳拓展(对应学生用书第 40 页)第 1 步核心知识再整合1空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S 柱侧ch(c 为底面周长，h 为高)；S 锥侧12ch(c 为底面周长，h为斜高)；S 台侧12(cc)h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高)；S 球表4R2(R 为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：V 柱体Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥体13Sh(S 为底面面积，h 为高)
8、；V 球43R3.2直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.第 2 步 高频考点细突破空间几何体的表面积、体积、球与多面体【例 1】(江苏省苏州市 2017 届高三暑假自主学习测试)如图 95，图 95在长方体 ABCDA1B1C1D1
9、 中，ABAD3 cm，AA12 cm，则三棱锥 AB1D1D的体积为_cm3.解析 VAB1D1DVB1AD1D13SAD1DB1A11312ADD1DB1A113123233.答案 3规律方法(1)在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解(3)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(4)求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到
10、的方法有构造法或者直接确定球心举一反三(江苏省南京市 2017 届高考三模数学试题)如图96，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点 D 为侧棱BB1 上的动点，当 ADDC1 最小时，三棱锥 DABC1 的体积为_图 9613 将直三棱柱 ABCA1B1C1 展开成矩形 ACC1A1，如图，连接 AC1，交 BB1 于 D，此时 ADDC1 最小，AB1，BC2，BB13，ABC90，点 D 为侧棱 BB1 上的动点，当 ADDC1 最小时，BD1，此时三棱锥 DABC1 的体积：VDABC1VC1ABD13SABDB1C11312ABBDB1C1131
11、211213.线面位置关系的命题真假判断【例 2】给出下列命题：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面则其中所有真命题的序号是_【导学号：56394061】解析 两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面一定没有公共点，因此线面平行，正确；同样两个平面平行，一直线与其中一个平面垂直，则它必垂直这个平面内的任意直线，根据面面平行的性质定理，它也必垂直另一平面内的两条相交直线，故这条
12、直线与另一平面也垂直，正确；两平面垂直，垂直于其中一个平面的直线可能在另一平面内(面面垂直性质定理)，错误；两平面垂直时，它们的交线与两平面都不垂直，错误答案 规律方法 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中举一反三设 a，b，c 是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是_(填序号)当 c 时，若 c，则/；当 b，a 且 c 是 a 在 内的射影时，若 bc，则
13、 ab；当 b 时，若 b，则；当 b 且 c 时，若 c/，则 b/c.命题的逆命题为“当 c 时，若，则 c”，正确；命题的逆命题为“当 b，a 且 c 是 a 在 内的射影时，若 ab，则 bc”，正确；命题的逆命题为“当 b 时，若，则 b”，错误；命题的逆命题为“当 b 且 c 时，若 bc，则 c”，正确空间中的线面位置关系【例 3】(江苏省 2017 届高考押题试卷(二)数学试题)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACB，AA1 2AB，D 是 AB 的中点(1)求证：BC1平面 A1CD；(2)若点 P 在线段 BB1 上，且 BP14BB1，求证：AP平面 A1CD.证明
14、(1)连接 AC1，设与 CA1 交于 O 点，连接 OD(图略)直三棱柱 ABCA1B1C1 中，O 为 AC1 的中点，D 是 AB 的中点，在ABC1 中，ODBC1，又OD平面 A1CD，BC1平面 A1CD.(2)由题意，设 ABx，则 BP 24 x，AD12x，A1A 2x，由于BPAD ABAA1 22，ABPADA1，可得BAPAA1D，DA1AADA190，可得：APA1D，又CDAB，平面 ABC平面 ABB1A1，CD平面 ABC，平面 ABC平面 ABB1A1AB，可得 CD平面 ABB1A1，CDAP，又A1DCDD，AP平面 A1CD.规律方法(1)要证线面平行，
15、先在平面内找一条直线与已知直线平行，或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面，找出交线，证明两线平行(2)要证线线平行，可考虑公理 4 或转化为线面平行(3)要证线面垂直可转化为证明线线垂直，应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化举一反三 如图 98 所示，在四面体 PABC 中，PCAB，PABC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点(1)求证：DE平面 BCP；(2)求证：四边形 DEFG 为矩形；(3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由解(1)证明：因为 D，E 分别是 AP，AC 的中点，所以 DEPC.又 DE平面 BCP，
16、所以 DE平面 BCP.(2)证明：因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DEPCFG，DGABEF.所以四边形 DEFG 为平行四边形又 PCAB，所以 DEDG.所以四边形 DEFG 为矩形(3)存在点 Q 满足条件理由如下：连接 DF，EG，如图所示，设 Q 为 EG 的中点，由(2)知，DFEGQ，且 QDQEQFQG12EG.分别取 PC，AB 的中点 M，N，连接 ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线交点为 EG 的中点 Q，且 QMQN12EG，所以 Q 为满足条件的点.空间中的面面位置关系【例 4】(江
17、苏省泰州中学 2017 届高三摸底考试)如图 99，正方形 ABCD 所在的平面与CDE 所在的平面交于 CD，AE平面 CDE，且 AB2AE.(1)求证：AB平面 CDE；(2)求证：平面 ABCD平面 ADE.证明(1)正方形 ABCD 中，AB/CD，又 AB平面 CDE，CD平面 CDE，AB/平面 CDE.(2)AE平面 CDE，且 CD平面 CDE，AECD，又正方形 ABCD 中，CDAD，且 AEADA，AE平面 ADE，AD平面 ADE，CD平面 ADE，又 CD平面 ABCD，平面 ABCD平面 ADE.规律方法 线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证
18、明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键证明面面平行主要依据判定定理，证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决举一反三(江苏省南京市 2017 届高考三模数学试题)如图 910，在三棱锥 ABCD 中，E、F 分别为 BC，CD上的点，且 BD平面 AEF.(1)求证：EF平面 ABD；(2)若 AE平面 BCD，BDCD，求证：平面 AEF平面 ACD.【导学号：56394062】证明(1)BD平面 AEF，BD平面 BCD，平面 BCD平面 AEFEF，BD
19、EF，又 BD平面 ABD，EF平面 ABD，EF平面 ABD.(2)AE平面 BCD，CD平面 BCD，AECD，由(1)可知 BDEF，又 BDCD，EFCD，又 AEEFE，AE平面 AEF，EF平面 AEF，CD平面 AEF，又 CD平面 ACD，平面 AEF平面 ACD.第 3 步高考易错明辨析1概念不清，做题时想当然导致出错这是一些中差生最常犯的错如图 911，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB4 cm，AD3 cm，AA12 cm，则四棱锥 ABB1D1D 的体积为_cm3.图 911错解 设 AC，BD 的交点为 O(图略)，则四棱锥 ABB1D1D 的体积 V13S
20、BB1D1DAO，根据题意 AC5 cm，所以 AO52，四棱锥 ABB1D1D 的体积 V135252253 cm3.错解分析 由于 AO 不垂直于面 BB1D1D，四棱锥 ABB1D1D 的体积不是13SBB1D1DAO.正解 作 AOBD，垂足为 O(图略)，因为平面 ABCD平面 BB1D1D.所以，AO平面 BB1D1D，所以四棱锥 ABB1D1D 的高为 AO，根据题意 BD5 cm，所以 AO125，四棱锥 ABB1D1D 的体积 V1352125 8 cm3.2.考纲要求学生要有一定的空间想象力，能根据图形想象出直观形象学生往往由于空间感太差，考虑问题不全面，忽视一些细节之处，
21、把图形想错已知 m、n 为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是_(填序号)m，mnn；，m，nmn；mn，mn；m，n，m，n.错解 对，想象为如下图形，所以正确，填.错解分析 空间想象能力差，考虑问题不全面而导致出错正解 对，直线有可能在平面内，故错；对，只能说明直线 m、n 无公共点，它们还有可能为异面直线，故错；对，图形如下，所以正确，填.对，平面、有可能相交，故错3推理不严密，逻辑思维混乱导致出错如图 912，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点如图，求证：平面 PAC平面 PBC.图 912错解 因为 PA 垂直圆所在的平面，所以 PAAC.又
22、因为 AB 是圆的直径，C 是圆上的点，所以 BCAC.所以平面 PAC平面 PBC.错解分析 证明任何一种位置关系，应紧扣相应的判定定理，要证两个平面垂直，必须证明其中一个平面经过另外一个平面的一条垂线以上证明找到了 PAAC，BCAC，但这并不能说明平面 PAC平面 PBC.正解 由 AB 是圆的直径可得 ACBC，由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC.又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.又因为 BC平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC.专家预测巩固提升(对应学生用书第 43 页)1边长为 2 2 的正ABC 内接于体积为 4
23、3 的球，则球面上的点到ABC 的最大距离为_4 33 设 M 是ABC 的外心，半径为 r，设球心为 O，球体半径为 R，则 V43R34 3，即 R 3，在 RtOMC 中，2r 2 2sin 60，则 r2 23，d R2r2383 33，dmaxdR 33 34 33.2等边三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 2，此时四面体 ABCD 外接球体积为_.【导学号：56394063】图 9135 56 根据题意可知三棱锥 BACD 的三条侧棱 BDAD，DCDA，底面是直角三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，球心在上下底面斜边的中
24、点连线的中点处，求出上下底面斜边的中点连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，ROB OC2BC2322222 52，V43R35 56.3在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，M、N 分别为 AB、CF 的中点，现沿 AE、AF、EF 折叠，使 B、C、D 三点重合于 B，构成一个三棱锥(如图 914 所示)(1)在三棱锥上标注出 M、N 点，并判别 MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明；(2)G 是线段 AB 上一点，且AG AB，问是否存在点 G 使得 AB平面 EGF，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；(3)求多面体 EAFNM 的体积解(1)因翻折后 B、C、D 重合，所以 MN 应是ABF 的一条中位线，如图所示则 MN/平面 AEF.证明如下：MN/AFMN平面AEFAF平面AEFMN/平面 AEF.4 分(2)存在 G 点使得 AB平面 EGF，此时 1.因为 ABBEABBFBEBFBAB平面 EBF.又 G 是线段 AB 上一点，且AG AB，当点 G 与点 B 重合时 AB平面 EGF，此时 1.8 分(3)因为 AB平面 BEF，且 AB6，BEBF3，VABEF13ABSBEF9，又VEAFNMVEABF SAFNMSABF34，VEAFNM274.12 分专题限时集训（九）点击图标进入
