1、13.1函数的单调性与导数预习课本P2226，思考并完成下列问题(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？(3)怎样求函数的单调区间？1函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常数函数点睛对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f(x)0，在其余的点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任
2、意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭即|f(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案：(1)(2)(3)2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是
3、()A(，2)B(0,3)C(1,4) D(2，)答案：D3函数f(x)2xsin x在(，)上()A是增函数B是减函数C在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减D在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增答案：A4. 函数yx3x在(，)上的图象是_(填“上升”或“下降”)的答案：上升 判断或讨论函数的单调性典例已知函数f(x)ax33x21，讨论函数f(x)的单调性解 由题设知a0.f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2.当a0时，若x(，0)，则f(x)0.f(x)在区间(，0)上为增函数若x，则f(x)0，f(x)在区间上是增函数当a0时，若x，则f(x)0.f(x
4、)在区间上为增函数若x(0，)，则f(x)0和f(x)0)，由f(x)0得x.2已知函数f(x)x3ax2bx(a、bR)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)函数f(x)的图象过点P(1,2)，f(1)2.ab1.又函数图象在点P处的切线斜率为8，f(1)8，又f(x)3x22axb，2ab5.解由组成的方程组，可得a4，b3.(2)由(1)得f(x)3x28x3(3x1)(x3)，令f(x)0，可得x；令f(x)0，可得3x1，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知(1,
5、4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7法二数形结合法如图所示，f(x)(x1)x(a1)在(1,4)内f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，另一根在4,6上即5a7.故实数a的取值范围为5,7法三转化为不等式的恒成立问题f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1, 4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知5a7.故实数a的取值范围为5,71利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在
6、某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意(2)先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.活学活用若f(x)(xR)在区间1,1上是增函数，则a_.解析：f(x)2，f(x)在1,1上是增函数，f(x)20.(x22)20，x2ax20对x1,1恒成立令g(x)x2ax2，则即1a1.即a的取值范围是1,1答案：1,1层级一学业水平达标1下列函数中，在(0，)内
7、为增函数的是()Aysin xByxexCyx3x Dyln xx解析：选BB中，y(xex)exxexex(x1)0在(0，)上恒成立，yxex在(0，)上为增函数对于A、C、D都存在x0，使y0的情况2若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Cy3x22xm，由条件知y0在R上恒成立，412m0，m.3函数yx42x25的单调递减区间为()A(，1)和(0,1) B1,0和1，)C1,1 D(，1和1，)解析：选Ay4x34x，令y0，即4x34x0，解得x1或0x0，当x(1,2)时，(x1)(x2)0，a0，a0.答案：(0，)9已知
8、函数f(x)x3ax2bx，且f(1)4，f(1)0.(1)求a和b；(2)试确定函数f(x)的单调区间解：(1)f(x)x3ax2bx，f(x)x22axb，由得解得a1，b3.(2)由(1)得f(x)x3x23x.f(x)x22x3(x1)(x3)由f(x)0得x1或x3；由f(x)0得3x1.f(x)的单调递增区间为(，3)，(1，)，单调递减区间为(3,1)10已知a0，函数f(x)(x22ax)ex.设f(x)在区间1,1上是单调函数，求a的取值范围解：f(x)(2x2a)ex(x22ax)exexx22(1a)x2a令f(x)0，即x22(1a)x2a0.解得x1a1，x2a1，令
9、f(x)0，得xx2或xx1，令f(x)0，得x1xx2.a0，x11，x20.由此可得f(x)在1,1上是单调函数的充要条件为x21，即a11，解得a.故所求a的取值范围为.层级二应试能力达标1.已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0，所以f(x)在(0，)内是增函数，所以有f(2)f(e)0，f(x)为增函数，x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数只有C符合题意，故选C.3(全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)内单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1 C2，) D1，
10、) 解析：选D因为f(x)kxln x，所以f(x)k.因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以01，所以k1.故选D.4设函数F(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f(x)满足f(x)e2f(0)，f(2 016)e2 016f(0)B f(2)e2 016f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2 016)e2f(0)，f(2 016)e2 016f(0)解析：选C函数F(x)的导数F(x)0，函数F(x)是定义在R上的减函数，F(2)F(0)，即，故有f(2)e2f(0)同理可得f(2 016)e2 016f(
11、0)故选C.5已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析：设g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)2.对任意xR，f(x)2，g(x)0. g(x)在R上为增函数又g(1)f(1)240，x1时，g(x)0.由f(x)2x4，得x1.答案：(1，)6若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_解析：f(x)在(1，)上为减函数，f(x)0在(1，)上恒成立，f(x)x，x0，bx(x2)在(1，)上恒成立，g(x)x(x2)(x1)21，g(x)min1，b1.答案：(，17已知x0，证明不等式ln(1x)xx2
12、成立证明：设f(x)ln(1x)xx2，其定义域为(1，)，则f(x)1x.当x1时，f(x)0，则f(x)在(1，)内是增函数当x0时，f(x)f(0)0.当x0时，不等式ln(1x)xx2成立8已知函数f(x)x3ax1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由(2)证明：f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方解：(1)已知函数f(x)x3ax1，f(x)3x2a，由题意知3x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2在x (1,1)上恒成立但当x(1,1)时，03x23，a3，即当a3时，f(x)在(1,1)上单调递减(2)证明：取x1，得f(1)a2a，即存在点(1，a2)在f(x)x3ax1的图象上，且在直线ya的下方即f(x)的图象不可能总在直线ya的上方