1、第八节 曲线与方程教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.基础梳理1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做，这条曲线叫做曲线的方程方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤三基自测1(选修21习题2.1
2、A组改编)在ABC中，A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)，则中线AO(O为原点)所在的方程为答案：x0(0y3)2(选修21习题2.1A组改编)已知方程ax2by22的曲线经过点A54，0和B(1,1)，则曲线方程为答案：1625x2 925y213(选修21习题2.1A组改编)和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为答案：2x22y22cxc2c04(选修21习题2.1A组改编)已知A(5,0)，B(5,0)，则满足kACkCB1的点C的轨迹方程为答案：x2y225(去掉A，B两点)考点一|定义法求轨迹方程(易错突破)【例1】(1)ABC的顶点A(5,0)，B
3、(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是(2)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为解析(1)如图，ABC的内切圆圆P与三边的切点分别为E，F，G.P在x3上，|AC|BC|，|CA|CB|GA|FB|EA|EB|(53)(53)6，C点轨迹是以A，B为焦点的双曲线(右支)，2a6，a3，c5，b4，顶点C的轨迹方程为x29y2161(x3)(2)由题意可知，|PM|r1，|PN|3r，|PM|PN|4且MN2，P点轨迹是以M，N为焦点的椭圆2a4，a2，c1，b23.动圆圆心P的方程为x24y231(x
4、2)答案(1)x29y2161(x3)(2)x24y231(x2)名师点拨 1.定义法求轨迹方程的适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义2应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解跟踪训练 若本例(2)中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为答案：y0(xb0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足OQ PF1 PF2，则动点Q的轨迹方程是(2)已知F是抛物线y14x2的焦点
5、，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是解析(1)作P关于O的对称点M，连接F1M，F2M，则四边形F1PF2M为平行四边形，所以PF1 PF2 PM 2 PO 2OP，又OQ PF1 PF2，所以OP 12OQ.设Q(x，y)，则OP x2，y2，即P点坐标为x2，y2，又P在椭圆上，则有x22a2 y22b2 1，即 x24a2 y24b21.(2)因为抛物线x24y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案(1)x24a2 y24b21(2)x22y1名师点拨 1.相关点(代入
6、)法求轨迹方程的适用条件两动点间存在关联或相关关系，且其中的一动点存在确定的运动规律2“代入法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1fx，y，y1gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程跟踪训练 已知点Q在椭圆C：x216y2101上，点P满足OP 12(OF1 OQ)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A圆 B抛物线C双曲线D椭圆答案：D考点三|直接法求轨迹方程(方法突破)【例3】已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1
7、)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点解析(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|x242.又|O1A|x42y2，x42y2 x242，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28
8、x，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640.由根与系数的关系，得x1x282bkk2，x1x2b2k2.x轴是PBQ的角平分线，y1x11 y2x21，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，整理得2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入到中并化简得8(bk)0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)名师点拨 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，一般有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性跟踪训练 已知
9、椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为 53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解析：(1)由题意知c 5，eca 53，a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程为x29y241.(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，l2x轴或l2x轴，可知P(3，2)当l1与x轴不垂直且不平行时，x03，设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为1k，l1的方程为yy0k(xx0)，与x29y241联立，整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360，直线l1与椭圆相切，0，即9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，(x209)k22x0y0ky2040，k是方程(x209)x22x0y0 xy2040的一个根，同理，1k是方程(x209)x22x0y0 xy2040的另一个根，k1k y204x209，整理得x20y2013，其中x03，点P的轨迹方程为x2y213(x3)经检验，P(3，2)满足上式综上，点P的轨迹方程为x2y213.