1、第三节 圆的方程教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.利用圆的几何要素，求圆的标准方程与一般方程2利用代数法、几何法处理圆的相关问题.圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.基础梳理1圆的定义、方程2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)20)，因为
2、点A(4,1)，B(2,1)都在圆上，故4a21b2r2，2a21b2r2，又因为b1a21，解得a3，b0，r 2，故所求圆的方程为(x3)2y22.答案：(x3)2y22考点二|与圆有关的最值问题(思维突破)【例3】(1)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A1 3，1 3 B(，1 3 1 3，)C22 2，22 2 D(，22 2 22 2，)(2)已知实数x，y满足x2y24x10.求yx的最大值与最小值；求yx的最大值、最小值；求x2y2的最大值、最小值解析(1)直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，
3、圆心(1,1)到直线的距离为d|m1n12|m12n12 1，mnmn1mn22.设tmn，则14t2t1，解得t(，22 222 2，)(2)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即ykx.如图所示，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k0|k213，解得k 3.所以yx的最大值为 3，最小值为 3.yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得b2 6.所以yx的最大值为2 6，最小值为2 6.如图所示，x2
4、y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2020022，所以x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.答案(1)D名师点拨 1.与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题2与圆有关的参数范围问题常见思路(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围(2)根据位
5、置关系列不等式组，用代数法求参数范围(3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围跟踪训练 已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，(1)求m2n的最大值；(2)求n3m2的最大值和最小值解析：(1)因为x2y24x14y450的圆心C(2,7)，半径r2 2，设m2nt，将m2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d|1227t|12222 2，解得162 10t162 10，所以，所求的最大值为162 10.(2)记点Q(2,3)因为n3m2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则n3m2k.由直线MQ与
6、圆C有公共点，所以|2k72k3|1k22 2.可得2 3k2 3，所以n3m2的最大值为2 3，最小值为2 3.考点三|与圆有关的轨迹问题(方法突破)【例4】已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解析(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONP
7、Q，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.名师点拨 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：1直接法：直接根据题目提供的条件列出方程2定义法：根据圆、直线等定义列方程3几何法：利用圆的几何性质列方程4代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式中跟踪训练 已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解析：(1)设C(x，y)，A，B，C三点不共线，y0.ACBC，kACkBC1，又kAC yx1，kBC yx3，所以 yx1 yx31，化简得x2y22x30.直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得xx032，yy02，x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(y0)动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)
