1、空间直角坐标系 A 级 基础巩固 1点 A(2，3，4)关于坐标平面 Ozx 对称点 A的坐标为()A(2，3，4)B(2，3，4)C(2，3，4)D(2，3，4)解析：选 A 点 A 的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得 A的坐标为(2，3，4)2已知 i，j，k 分别是空间直角坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向上的单位向量，且 OBijk，则点 B 的坐标是()A(1，1，1)B(i，j，k)C(1，1，1)D不确定 解析：选 A 由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点 B 的坐标为(1，1，1)3.如图，在长方体 OABCO1A1B1C1 中，OA3，OC
2、5，OO14，点 P是 B1C1的中点，则点 P 的坐标为()A(3，5，4)B.32，3，4 C.32，5，4 D.5，32，2 解析：选 C 由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.4已知 OA8a6b4c，其中 aij，bjk，cki，i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则点 A 的坐标为()A(12，14，10)B(10，12，14)C(14，10，12)D(4，2，3)解析：选 A OA8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k(12，14，10)5已知在长方体 A
3、BCDA1B1C1D1中，向量 a 在基底 AB，AD，AA1下的坐标为(2，1，3)，则向量 a 在基底 DA，DC，DD1下的坐标为()A(2，1，3)B(1，2，3)C(1，8，9)D(1，8，9)解析：选 B a2 AB AD3 AA12 DC DA3 DD1 DA2 DC3 DD1，向量 a 在基底 DA，DC，DD1下的坐标为(1，2，3)，故选 B.6设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量 ab 的坐标是_ 解析：ab3i2j2k(3，2，2)答案：(3，2，2)7.三棱锥 PABC 中，ABC90，PB平面 ABC，ABBCPB1，M，N
4、 分别是 PC，AC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则向量 MN的坐标为_ 解析：因为 ABBCPB1，所以可设 BAi，BCj，BPk，所以 MN MB BN12(BP BC)12(BA BC)12 BA12 BP12i12k12，0，12.答案：12，0，12 8在长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 AB3i，AD2j，AA15k，则向量 AC1在基底i，j，k下的坐标是_ 解析：AC1 AB BC CC1 AB AD AA13i2j5k，向量 AC1在基底i，j，k下的坐标是(3，2，5)答案：(3，2，5)9.已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 2 的正方体，
5、E，F 分别为 BB1和 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出 DB1，DE，DF的坐标 解：DB1 DA DC DD12i2j2k(2，2，2)DE DA DC12 DD12i2jk(2，2，1)DF12 DCj(0，1，0)10已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PAAD1，试建立适当的空间直角坐标系并写出向量 MN，DC的坐标 解：如图所示，因为 PAADAB1，且 PA平面 ABCD，ADAB，所以可设 DAi，ABj，APk，以i，j，k为基底建立空间直角坐标系 Axyz.因为 MN MA AP PN MA AP12
6、PC MA AP12(PA AD DC)12jk12(kij)12i12k，DC ABj，所以 MN12，0，12，DC(0，1，0)B 级 综合运用 11若 pxaybzc，则称(x，y，z)为 p 在基底a，b，c下的坐标若一向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(1，2，3)，则向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标为()A.12，32，3 B.32，12，3 C.3，12，32 D.12，32，3 解析：选 B 设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则 pa2b3cx(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，所以xy1，xy2，z3，解得x32，y12，z3，故 p
7、 在基底ab，ab，c下的坐标为32，12，3.12已知 a(3，4，5)，e1(2，1，1)，e2(1，1，1)，e3(0，3，3)，若 axe1ye2ze3，则 x_，y_，z_ 解析：由题意设 a3i4j5k，e12ijk，e2ijk，e33j3k，又 axe1ye2ze3，所以 3i4j5kx(2ijk)y(ijk)z(3j3k)(2xy)i(xy3z)j(xy3z)k，所以2xy3，xy3z4，xy3z5，解得x76，y23，z32.答案：76 23 32 13.如图所示，正四面体 ABCD 的棱长为 1，G 是BCD 的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则 AG的坐标为_，AB的
8、坐标为_ 解析：设i，j，k为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知，BG23BE2332 33，所以 AGAB2BG263，所以 AG63 k0，0，63，AB GB GA 33 j 63 k0，33，63.答案：0，0，63 0，33，63 14.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 E，F 分别在线段 A1D，AC 上，且 EFA1D，EFAC，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)(1)试求向量 EF的坐标；(2)求证：EFBD1.解：(1)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，根据题意知
9、DA，DC，DD1为单位正交基底，设 DAi，DCj，DD1k，向量 EF可用单位正交基底i，j，k表示 EF ED DC CF，ED与 DA1共线，CF与 CA共线，设 ED DA1，CF CA，则 EF DA1 DC CA(DA DD1)DC(DA DC)()DA(1)DC DD1()i(1)jk，EFA1D，EFAC，即 EF A1D，EF AC，EFA1D0，EF AC0，又 A1Dik，ACij，（）i（1）jk（ik）0，（）i（1）jk（ij）0，整理得（）0，（）10，即20，21，解得13，23.EF13i13j13k，EF的坐标是13，13，13.(2)证明：BD1 BD DD1ijk，又由(1)知 EF13i13j13k，EF13 BD1，即 EF BD1，又 EF 与 BD1无公共点，EFBD1.C 级 拓展探究 15.如图，在空间直角坐标系中，BC2，原点 O 是 BC 的中点，点 D在平面 Oyz 内，且BDC90，DCB30，求点 D 的坐标 解：过点 D 作 DEBC，垂足为 E.在 RtBDC 中，BDC90，DCB30，BC2，得|BD|1，|CD|3，|DE|CD|sin 3032，|OE|OB|BE|OB|BD|cos 6011212，点 D 的坐标为0，12，32.