1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，则p与q互为充要条件(3)若p/ q，且q/
2、 p，则p是q的既不充分也不必要条件1一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论2“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的1(2013福建高考)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当a3时，A1,3，AB；反之，当AB
3、时，a2或3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A“若xy，则x2y2” B“若xy，则x2y2”C“若xy，则x2y2” D“若xy，则x2y2”解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”3(教材习题改编)命题“如果b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选D原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根，则b24ac0”，为真命题，则它
4、的否命题也为真4命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是B选项5下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1 Ca2b2 Da3b3解析：选A由ab1，且b1b，得ab；反之不成立. 方法博览(一)三法破解充要条件问题1定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“
5、若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系典例1设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解题指导由0x可知0sin x1，分别判断命题“若xsin2x1，则xsin x1”与“若xsin x1，则xsin2x1”的真假即可解析因为0x，所以0sin x1，不等式xsin x1两边同乘sin x，可得xsin2xsin x，所以有xsin2xsin x1.即xsin x1xsin2x1；不等式xsin2x1两边同除以sin x，可得xsin x，而由0sin x1，故xsin x1不一定成
6、立，即xsin2x1/ xsin x1.综上，可知“xsin2x1”是“xsin x1”的必要不充分条件答案C点评判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若p，则q”和B：“若q，则p”的真假(1)若pq，则p是q的充分条件；(2)若qp，则p是q的必要条件；(3)若pq且qp，则p是q的充要条件；(4)若pq且q/ p，则p是q的充分不必要条件；(5)若p/ q且qp，则p是q的必要不充分条件；(6)若p/ q且q/ p，则p是q的既不充分也不必要条件2集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题典例2
7、若A：log2a1，B：x的二次方程x2(a1)xa20的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解题指导分别求出使A、B成立的参数a的取值所构成的集合M和N，然后通过集合M与N之间的关系来判断解析由log2a1，解得0a2，所以满足条件A的参数a的取值集合为Ma|0a2；而方程x2(a1)xa20的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f(0)0，即a20，解得a2，即满足条件B的参数a的取值集合为Na|a2，显然MN，所以A是B的充分不必要条件答案B点评利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件p、q对应的集合分别为A、B
8、关系ABBAA BB AABA B且B A结论p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断典例3已知条件p：1，条件q：x2xa2a，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是_解题指导“q的一个充分不必要条件是p”等价于“p是q的一个必要不充分条件”解析由1，得3x1.由x2xa2a，得(xa)x(a1)1a，即a时，不等式的解为1axa；当a1a，即a时，不等式的解为；当a1a，即a时，不等式的解为ax时，由x|1axax|3x1，得解得a1；当a时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a时，由x|ax1ax|3x1，得解得0a.综上，a的取值范围是0,1答案0,1点评条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.p、q之间的关系和之间的关系p是q的充分不必要条件是的必要不充分条件p是q的必要不充分条件是的充分不必要条件p是q的充要条件是的充要条件p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件