1、双曲线的简单几何性质A级基础巩固1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析：选C双曲线方程化为标准方程为1，所以a24，a2，从而2a4，故选C.2如果椭圆1(a0，b0)的离心率为，那么双曲线1的离心率为()A. B.C. D2解析：选A由已知椭圆的离心率为，得，a24b2.e2.双曲线的离心率e.3若双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线的方程为()Ay2x296 By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：选D设双曲线方程为x2y2(0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，4)，所以0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_解析：
2、由题意知1，c2a2b24，解得a1，所以e2.答案：27设双曲线C经过点(2，2)，且与x21具有相同的渐近线，则C的方程为_，渐近线方程为_解析：设双曲线C的方程为x2.将点(2，2)的坐标代入，得3，双曲线C的方程为1，渐近线方程为y2x.答案：1y2x8已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac2.答案：9已知双曲线E与双曲线1共渐近线，且过点A(2，3)若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程解：由题意，设双曲线E的方程为t
3、(t0)点A(2，3)在双曲线E上，t，t，双曲线E的标准方程为1.又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，双曲线M的标准方程为1.10设双曲线1(0aa，所以e212，则e2.于是双曲线的离心率为2.B级综合运用11已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2C. D.解析：选D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.12(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两
4、条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4 B8C16 D32解析：选B由题意知双曲线的渐近线方程为yx.因为D，E分别为直线xa与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，b)，所以SODEa|DE|a2bab8，所以c2a2b22ab16，所以c4，所以2c8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.13(2020全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_解析：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：1上的点，所以1，所以y.因为AB的斜率为3，所以yB，3，所
5、以b23ac3a2，所以c2a23ac3a2，所以c23ac2a20，解得ca(舍去)或c2a，所以C的离心率e2.答案：214若点O和点F(2，0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求的取值范围解：因为 F(2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为y21.设点P(x0，y0)(x0)，则y1(x0)，可得y1(x0)，易知(x02，y0)，(x0，y0)，所以x0(x02)yx0(x02)12x01，此二次函数对应的图象的对称轴方程为x0.因为x0，所以当x0时，取得最小值32132，故的取值范围是32，)C级拓展探究15探
6、究是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由(1)渐近线方程为x2y0；(2)点A(5，0)到双曲线上的动点P的距离的最小值为.解：假设存在同时满足给定的两个条件的双曲线设P(x，y)若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为x2y0，可设其方程为1(b0)则|AP|(|x|2b)若2b4，即b2，则当x4时，|AP|取得最小值为，此方程无解；若2b4，即b2，则当x2b时，|AP|取得最小值，为|2b5|，解得b，此时存在双曲线，方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，则可设其方程为1(b0，xR)，于是|AP|，xR，当x4时，|AP|取得最小值，为，b21，双曲线的标准方程为y21.综合知，存在双曲线，其方程为1或y21.