1、抛物线的方程及性质的应用(习题课)A级基础巩固1设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则圆C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆 D圆解析：选A设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r1，所以点C到点(0，3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线2已知点(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y23的最小值是()A2 B3C4 D0解析：选B因为点(x，y)在抛物线y24x上，所以x0，因为zx2y23x22x3(x1)22，所以当x0时，z最小，最小值为3.3(多选)已知抛物线C：y的焦点为F，
2、A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，则x0等于()A2 B2C4 D4解析：选CD抛物线C：y，x28y，焦点F(0，2)，准线方程为y2.A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，由抛物线的定义，得y022y0，y02，x16，x04.4如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN分别垂直于准线于点M，N，则|BN|BF|，|AM|AF|.又|BC|2|BF|，可得|BC|2|BN
3、|，所以ACM30，则|AC|2|AM|6.设|BF|x，则2xx36，解得x1.又|AF|x13，|BF|x21，且x1x2，所以，解得p，所以抛物线的方程为y23x.故选C.5设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过点M(2，0)且与C交于A，B两点，|BF|.若|AM|BM|，则实数()A. B2C4 D6解析：选C由题意得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x1，由|BF|及抛物线的定义知点B的横坐标为，代入抛物线方程得B.根据抛物线的对称性，不妨取B，则直线l的方程为y(x2)，联立得A(8，4)，于是4.故选C.6若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_
4、解析：双曲线x2y21的左焦点为(，0)，所以，故p2.答案：27已知A，B为抛物线y22x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y24，A，B在抛物线上，相减得yy2(x1x2)，即.答案：8已知抛物线C：y22x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，3(O为坐标原点)，则x0_解析：设直线l的方程为yk(xx0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立可得消y并整理可得，k2x2(2k2x02)xk2x0，由根与系数的关系可得，x1x2x，则y1y22x0，
5、3，x1x2y1y23，即x2x03，解得x03.答案：39设抛物线W：y24x的焦点为F，直线l：yxm与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值解：(1)直线l：yxm与抛物线W联立得x2(2m4)xm20，(2m4)24m20，解得m1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x242m，x1x2m2，则点Q的纵坐标为2.点Q的纵坐标为定值2.10.如图，已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两
6、点，求|MN|的最小值解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p0)，则1，所以p2，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24，从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理可得点N的横坐标xN.所以|MN|xMxN|8.令4k3t，t0，则k.当t0时，|MN|2 2.当t0)的焦点F到其准线的距离为2，过点E(4，0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AF|2|BF|的最小值为()A32 B38C. D9解析：选B因为抛物线C：y22px(p0)的焦点F到
7、其准线的距离为2，所以p2，抛物线C的方程为y24x.设直线l的方程为xmy4，将此方程代入y24x，整理得y24my160.设A，B，则y1y216，所以|AF|2|BF|232383，当且仅当，即y2y时等号成立故选B.13已知抛物线C：y22px经过点P(1，2)过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，则直线l的斜率的取值范围是_解析：因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k0，则直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x20，所以x14x2，分别代入和，得解得k.所以直线l的方程为yx10，即3x2y200或3x2y200.