1、珠海二中高二月考数学试题2020.12.25一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.抛物线的焦点到准线的距离为 （ ） A.4 B.2 C.1 D2.已知，设：，：，则下列命题为真的是 （ ） A若则 B若则 C若则 D若则3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设表示事件“3件产品 全不是次品”,表示事件“3件产品全是次品”,表示事件“3件产品中至少有1件是 次品”,则下列结论正确的是() A与互斥 B与互斥但不对立 C.任意两个事件均互斥 D与对立4.已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D.5.某创业公司共有36名职工,为了了解该公
2、司职工的年龄构成情况,随机采访了9位代表, 得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,则年龄在 内的人数占公司人数的百分比是( ) (其中是平均数,为标准差,结果精确到1%) A.14% B.25% C.56% D.67%6.如图所示,已知是平行六面体.设, 是上靠近 点的四等分点,若,则的值为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴的两个端点分 别为、，虚轴的两个端点分别为、.以坐标原点为圆心，为直径的 圆与双曲线交于点（位于第二象限），若过点作圆的切线恰过左焦点，则双曲线的离心率是（ ） A. B.2 C. D.
3、 8.抛物线的焦点为,设是抛物线上的两个动点,若, 则的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分）9.给出下列命题,正确的是 ( )A.命题“，使得”的否定是“，都有或”；B.对于命题和命题，“为真命题”的必要不充分条件是“为真命题”；C.若为等差数列，则“”是“” 的充要条件；D.若且，则；10.统计某校名学生的某次数学同步练习成绩(满分分),根据成绩依次分成六组: ,得到频率分布直方图如图所示,若不低于分的人数为110,则以下说法正确的是(
4、) A. B. C.100分以下的人数为60 D.分数在区间的人数占大半. 11.在三棱锥中,则( )A. B. C.两异面直线与所成角为 D. 12.已知双曲线,给出下列四个结论, 正确的是 ( )A.的取值范围是 B.的焦距与的取值无关C.当的离心率不小于2时, 的最小值为 D.存在实数,使得点在上三、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）13.某公司生产三种不同型号的轿车,产量之比依次为,为检验公司的产品质量, 用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本,若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆,则= .14.已知双曲线的焦距为10， 则双曲线的渐近线方程为 .15.已知,使得成立；对
5、,恒成立. 若是真命题,则实数的取值范围是 16.阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在 阳马中,为阳马中最长的棱,若在阳马的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为 17.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 18.已知椭圆,为其左焦点,过原点的直线交椭圆于两点,点在第二象限,且,则直线的斜率为 四、解答题（本题共5个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.(本小题12分)有3名男同学和3名女同学参加某夏令营,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学女同学 现从这6名
6、同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) . (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件发生的概率.20.(本小题12分) 已知动圆过点(2,0)，被轴截得的弦长为4. （1）求圆心的轨迹的方程； (2) 若为轴的负半轴上任意一点，点的坐标为为轨迹上任意一点，且, 求证：直线与抛物线有且只有一个公共点21.(本小题12分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相
7、关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（万元）24536（单位：）2.544.536 （1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程； （2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题： 当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大. 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，. 参考数据：，.22.(本小题12分) 如图,在三棱柱中,平面,是的中点 ,. (1)证明:； (2)若,求二面角的余弦值. 23.(本小题12分)已知椭圆经过点,且离心率. （1）求
8、椭圆的方程； （2）若是椭圆上异于的两点,直线的斜率分别为且为垂足.是否存在定点,使得为定值? 若存在,请求出点坐标及定值;若不存在,请说明理由.珠海二中高二月考数学试题参考答案BCDD CAAB 9. ABD 10. AC 11. BD 12. ABD 13. 72 14. 15. 16. 17. 18. 19.(1)从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为 (A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z),共15种. (2)选出的2人来自不同年级且
9、恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为 (A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y),共6种. 因此,事件发生的概率P(M)=615=25.20.（1）设动圆圆心，由题意可得： ，整理得：， 所以，动圆圆心的轨迹的方程：. （2）设点的坐标为，有，设点的坐标为 又， 所以得 直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的方程为 解得即方程组仅有一组解， 所以直线与抛物线有且只有一个公共点21.解:（1）由题意，.（2）由（1）得，当时，.即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.令年利润与年宣传费的比值为，则，.当且仅当即时取最大值.故该公司
10、应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.22.解:(1)证明:连接BC1,BE,因为在BCC1中,BC=1,CC1=BB1=2,BCC1=60,所以BCBC1,所以BE=12CC1=1. 因为在EC1B1中,B1E=EC12+B1C12-2EC1B1C1cos120=3, 所以BE2+B1E2=BB12,即B1EBE, 又AB平面BB1C1C,且B1E平面BB1C1C, 所以B1EAB,ABBE=B,所以B1E平面ABE, 因为AE平面ABE,所以B1EAE. (2)以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B1(-1,3,0),E12,32,0,A1(-1
11、,3,2),所以B1E=32,-32,0,AB1=(-1,3,-2),A1E=32,-32,-2,设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),平面A1B1E的法向量为m=(a,b,c),由B1En=0,AB1n=0,得3x-y=0,x-3y+2z=0,取x=1,则n=(1,3,2),由B1Em=0,A1Em=0,得3a-b=0,3a-3b-22c=0,取a=1,则m=(1,3,0).所以cosm,n=mnmn=426=63,由图可知二面角A-B1E-A1为锐角,所以二面角A-B1E-A1的余弦值为63.23.(1)由，得. 解得 所以椭圆的方程为 （2）设，由题意得直线的斜率一定存在，直线的方程为 ，联立，消去，得，得由，得，即当时，直线过定点，舍去.当，直线过定点此时，得，存在直线过定点.当为的中点，即，此时.9