1、椭圆及其标准方程A级基础巩固1若椭圆1的焦距为2，则m的值为()A5B3C5或3 D8解析：选C由题意得c1，a2b2c2.当m4时，m415；当m|F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误故选A、C.3设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则PF1F2是()A钝角三角形 B锐角三角形C斜三角形 D直角三角形解析：选D由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a8.由题可得|PF1|PF2|2，则|PF1|5，|PF2|3，或|PF1|3，|PF2|5.又|F1F2|2c4，所以PF1F2为直角三角形4“1
2、m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当方程1表示椭圆时，必有所以1m3且m2；当m2时，方程变为x2y21，它表示一个圆故选B.5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若2|F1F2|PF1|PF2|，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1或1C.1D.1或1解析：选B由已知2c|F1F2|2，c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.6若ABC的两个顶点坐标为A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为_解析：ABC的两
3、个顶点坐标为A(4，0)，B(4，0)，周长为18，|AB|8，|BC|AC|10.|BC|AC|8，点C到两个定点A，B的距离之和为定值，点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆2a10，2c8，b3.顶点C的轨迹方程是1(y0)答案：1(y0)7已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：|PF1|PF2|2a6，|PF2|6|PF1|2.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2，F1PF2120.答案：21208设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1PF2，|PF1|PF2|
4、2，若a2b，则椭圆的标准方程为_解析：a2b，b2c2a2，c23b2.又PF1PF2，|PF1|2|PF2|2(2c)212b2.由椭圆定义可知|PF1|PF2|2a4b，(|PF1|PF2|)212b2416b2，b21，a24.椭圆的标准方程为y21.答案：y219求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点和；(2)过点(3，2)且与椭圆1有相同的焦点解：(1)设所求椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)椭圆过点和，解得所求椭圆的标准方程为x21.(2)由题意得已知椭圆1中a3，b2，且焦点在x轴上，c2945.设所求椭圆方程为1.点(3，2)在所求椭圆上，1.a215或a23(
5、舍去)所求椭圆的标准方程为1.10已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程解：法一：设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得所以b2a2c212.于是所求椭圆的标准方程为1或1.法二：设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a|PF1|PF2|358，所以a4.在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得|x|.依题意有3，得b212.于是所求椭圆的标准方程为1或1.B级综合运用11椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中
6、点M在y轴上，那么点M的纵坐标为()A BC D解析：选D如图，当点P在x轴上方时，OM为PF1F2的中位线，所以P，所以M.同理，当点P在x轴下方时，M，故选D.12已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7C13 D15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.13椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点现从椭圆1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则
7、光线所经过的总路程为_解析：依题意可知光线经椭圆内壁两次反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所经过的路程正好是4a4312.答案：1214在直线l：xy90上任取一点P，过点P以椭圆1的焦点为焦点作椭圆，则点P在何处时，|PF1|PF2|的值最小？并求出此时椭圆的标准方程解：由题意知F1(3，0)，F2(3，0)在l同侧，如图所示，作F2关于l的对称点F2，连接F1F2，则F1F2与l的交点即为所求点P，连接PF1，PF2.设F2(x0，y0)，则得F2(9，12)所以直线F1F2的方程为y2(x3)，将其与xy90联立，解方程组，得即P点坐标为(5，4)此时，|PF1|PF2|PF1|PF2|F1F2|6，此时a3，c3，b6.所以所求椭圆的标准方程为1.C级拓展探究15.准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，就得到一条折痕l(为了看清楚，可把直线l画出来)这样继续折下去，得到若干折痕观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？解：如图，由题意知，CD是线段MF的垂直平分线，|MP|PF|，|PF|PO|PM|PO|MO|(定值)，又|MO|OF|，根据椭圆的定义可以推断出点P的轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆，故这些折痕围成的轮廓是椭圆