1、空间中点、直线和平面的向量表示A级基础巩固1若A(0，2，1)，B(3，2，1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(3，0，6)B(9，0，6)C(2，0，2) D(2，1，3)解析：选B(3，0，2)(9，0，6)，故选B.2(多选)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是()A. B.C. D.解析：选ABC由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C选项正确3已知平面内的两个向量a(2，3，1)，b(5，6，4)，则该平面的一个法向量为()A(1，1，
2、1) B(2，1，1)C(2，1，1) D(1，1，1)解析：选C显然a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，则有即取z1，得x2，y1.n(2，1，1)4已知平面内有一个点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列各点中，在平面内的是()AP(1，1，1) BQCM DN解析：选B对于B，则n(3，1，2)0，n，则点Q在平面内5(多选)若直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，则不可能使l的是()Am(1，0，0)，n(2，0，0)Bm(1，3，5)，n(1，0，1)Cm(0，2，1)，n(1，0，1)Dm(1，1，3)，n(0，3，1)解析：选ABC若l，则需mn，
3、即mn0，根据选择项验证可知：A中，mn2；B中，mn6；C中，mn1；D中，mn0，故选A、B、C.6已知直线l1的一个方向向量为(5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x_，y_解析：直线的方向向量平行，x20，y12.答案：20127.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为_解析：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1)答案：(1，1，1)(答案不唯一)8已知向量b(2，1，1)，点A(3，1，4)，B(2，2，2)，若在直线AB上，存在一点E，使
4、得b(O为原点)，则E点的坐标为_解析：t(3，1，4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，因为b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为.答案：9.如图，在三棱台ABCA1B1C1中，AB2A1B1，B1D2DC1，CEEC1，设a，b，c，以a，b，c为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量解：abc，所以直线AD的一个方向向量是abc.bc，所以直线AE的一个方向向量为bc.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个
5、法向量解：因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(0，0)，E，B(1，0，0)，C(1，0)，于是，(1，0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以取y1，则xz.所以平面ACE的一个法向量为n(，1，)B级综合运用11已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(1，1，1) B.C. D.解析：选B设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，又(0，1，1)，(1，1，0)，则xyz，又单位向量的模为1，故只有B
6、正确12(多选)已知平面内两向量a(1，1，1)，b(0，2，1)，且cmanb(4，4，1)，若c为平面的一个法向量，则()Am1 Bm1Cn2 Dn2解析：选ACcmanb(4，4，1)(m，m，m)(0，2n，n)(4，4，1)(m4，m2n4，mn1)，由c为平面的一个法向量，得得解得13已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面内的任一点，则直线OA的一个方向向量为_，点P的坐标满足的条件为_解析：由题意知，OA，直线OA的一个方向向量为(1，1，1)因为P，所以，所以(1，1，1)(x1，y1，z1)0，所以xyz3.
7、答案：(1，1，1)(答案不唯一)xyz314求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得 (1t)t.证明：如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得t.又因为，所以t()整理，得(1t)t.C级拓展探究15.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，因此，.显然向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1，故平面SDC的一个法向量为(2，1，1)