1、十六均值不等式基础全面练(15分钟35分)1.(2021哈尔滨高一检测)下列不等式中正确的是()Aa2b24abBa4Ca224 Da24【解析】选D.A. a2b24ab(ab)22ab不一定大于等于零，所以该选项错误；Ba，当a取负数时，显然a2，如a0时，a224，所以该选项错误；Da224，当且仅当a时取等号，所以该选项正确【补偿训练】 (多选题)下列结论正确的是()Ayx2有最小值4B若x1，则y的最小值为9Cab2时，yx有最小值2【解析】选BC.对于A，没有说x是正数，所以yx2可以取到负值，没有最小值，故A错误；对于B，因为x1，原式yx15259.当且仅当x1，即x1时，等号
2、成立故ymin9，B项正确对于C，因为ab0，0，y22，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，yxx22224，故D错误2若a，bZ，且ab0，则2a2b的最小值是()A2B3C4D5【解析】选A.因为a，bZ，所以2a0，2b0，所以2a2b222，当且仅当ab0时，等号成立所以2a2b的最小值是2.3若4x1，则().A有最小值1B有最大值1C有最小值1 D有最大值1【解析】选D.因为4x1x0，所以21.当且仅当x0时取等号所以函数f(x)有最大值1，无最小值4已知正数a，b，1，则3ab的最小值为_【解析】因为12，所以ab8，因此3ab24，当且仅当，即a2，b4时，取等号答案：
3、245(2021北京高一检测)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时间x(年数，xN*)的关系为yx218x25，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元【解析】年平均利润x18 18 8.当且仅当x5时，等号成立，max8，即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元答案：586已知x3，求f(x)x的最大值【解析】因为x3，所以x30，所以f(x)x(x3)33，因为3x24(当且仅当3x，即x1时取等号)，所以f(x)431，即f(x)的最大值为1.综合突破练(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2021
4、东营高一检测)若正数x，y满足x3y5xy，当3x4y取得最小值时，x2y的值为()AB2CD5【解析】选B.因为x3y5xy，x0，y0，所以1，所以3x4y(3x4y)325，当且仅当，即x2y1时取等号，则x2y的值为2.2已知ma(a2)，n4b2(b0)，则m，n之间的大小关系是()Amn Bm2，所以a20.又因为ma(a2)2，所以m224.由b0得b20，所以4b24，即nn.3已知当x3时，代数式4x(x0，a0)取得最小值，则a()A28 B32 C36 D40【解析】选C.4x24(x0，a0)，当且仅当4x，即x时等号成立，所以3，即a36.4已知x0，y0，且2xy1
5、，则xy的最大值是()A B4 C D8【解析】选C.由题意得，xy2xy，当且仅当x，y时等号成立，所以xy的最大值是.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知a，b均为正实数，则下列不等式一定成立的是()Aab3 B(ab)4Cab D【解析】选BC.对于A，ab22，所以.6下列命题中正确的是()Ayx(x0)的最大值是24Dy有最大值【解析】选AC.yx2，当且仅当x1时，等号成立所以A正确；y2，取不到最小值2(等号取不到)，所以B错误；y23x(x0)224，当且仅当3x时，等号成立，所以C正确；y2，x0时取到，故无最大值，所以
6、D错误【光速解题】选AC.A选项可以作为结论记住，yx(x0)的最小值是2；观察BD为同一式子的最值分析，其中D选项实质上是二次除以一次形式，最大值显然不存在，B选项通常仅需验证等号成立即可，易知BD均错误，故选AC.三、填空题(每小题5分，共10分)7(2020哈尔滨高一检测)设a，b为正实数，且，则a2的最小值为_【解析】因为，所以a2；所以a224，当且仅当ab时等号成立答案：48已知x0，y0，且满足1，则xy的最大值为_，取得最大值时y的值为_【解析】因为x0，y0且12，所以xy3.当且仅当，即x，y2时取等号答案：32四、解答题(每小题10分，共20分)9设x1，求的最小值【解析
7、】因为x1，所以x10，设x1t0，则xt1，于是有：t5259.当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.所以当x1时，函数取得最小值是9.10(2021肥城高一检测)已知m0，n0，不等式x2mx120，b0，所以0，0.所以5529，当且仅当，即a，b时等号成立所以的最小值为9.应用创新练1几何原本中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明如图所示的图形，在AB上取一点C，使得ACa，BCb，过点C作CDAB交圆周于D，连接OD.作CEOD交OD于点E.则下列不等式可以表示CDDE的是(
8、)A.(a0，b0)B(a0，b0)C(a0，b0)Da2b22ab(a0，b0)【解题思路】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CDDE即可得到答案【解析】选A.连接DB，因为AB是圆O的直径，所以ADB90，所以在RtADB中，中线OD，由射影定理可得CD2ACCBab，所以CD.在RtDCO中，由射影定理可得CD2DEOD，即DE，由CDDE得.2已知正数0a1，0b1，且ab，则ab，2，2ab，a2b2，其中最大的一个是()Aa2b2 B2C2ab Dab【解析】选D.因为a，b(0，1)，ab，所以ab2，a2b22ab，所以，最大的只能是a2b2与ab之一而a2b2(ab)a(a1)b(b1)，又0a1，0b1，所以a10，b10，因此a2b2ab，所以ab最大