1、专题八立体几何 (2012高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB1，BC.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直(2012高考陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为A.B.C. D.(2012高考江西卷)如图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱
2、锥分成上、下两部分记SEx(0x1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数yV(x)的图像大致为(2012高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B3C. D6(2012高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A2 B.C. D1(2012高考四川卷)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC、ED，则sinCEDA. B.C. D.(2012高考上海卷) 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC2，若AD2c，且ABBDACCD2a，其中a、c为常数
3、，则四面体ABCD的体积的最大值是_(2012高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.()求证：BD平面AED；()求二面角FBDC的余弦值(2012高考福建卷) 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点 ()求证：B1EAD1；()在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；()若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长(2012高考安徽卷)平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，BB14，ABAC，A1
4、B1A1C1.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题()证明：AA1BC；()求AA1的长；()求二面角ABCA1的余弦值(2012高考辽宁卷) 如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，点M，N分别为AB和BC的中点 ()证明：MN平面AACC；()若二面角AMNC为直二面角，求的值(2012高考上海卷) 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在
5、失事船正南方向12海里A处，如图现假设：失事船的移动路径可视为抛物线yx2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t. (1)当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？专题八立体几何BA：过点A作AEBD交BD于点E，连结CE.若BDAC，则BD平面ACE，BDCE，与事实矛盾B：若ABCD，又ABAD，AB平面ACD，ABAC，在RtABC中AB1，BC，AC1.在折叠过程中一定存在某一位置使AC1，故选B.A设CB1，则CC1CA1，A(2，0，0)，
6、B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，1(2，2，1)，1(0，2，1)，cos1，1，故选A.AE点从S点向C点移动，开始体积随x的增大而减小的速度快，越靠近C点体积减小的速度越慢，所以选A. B由正视图及侧视图知，该几何体为一组合体，又俯视图为圆，则该几何体为圆柱，如右图，故该几何体体积为V1221223.D连结AC交BD于F.易证EFAC1，即AC1平面BED.线面距离转化为点面距离即C点到平面BED的距离，又FCE为等腰直角三角形，且直角边为，易得d1.BsinCEDsin(CEB)(cosCEBsinCEB).c由题意知，BC2，AD2c，ABBD2a，ACCD2
7、a，利用体积分割，以AD的中截面为底，以AD为锥体的高可得出Vmax .解：()证明：在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAB60，CBCD，由余弦定理可知BD2CD2CB22CDCBcos(180DAB)3CD2，即BDCDAD，在ABD中，DAB60，BDAD，则ABD为直角三角形，且ADDB.又AEBD，AD平面AED，AE平面AED，且ADAEA，故BD平面AED.()由()可知ACCB，设CB1，则CABD，建立如图所示的空间直角坐标系，F(0，0，1)，B(0，1，0)，D(，0)，向量n(0，0，1)为平面BDC的一个法向量设向量m (x，y，z)为平面BDF的法向量，则，即，取y
8、1，则x，z1，则m(，1，1)为平面BDF的一个法向量cosm，n，而二面角FBDC的平面角为锐角，则二面角FBDC的余弦值为.解：()证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，故(0，1，1)，(a，0，1)，.011(1)10，B1EAD1.()假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n
9、，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.()连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由()知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一个法向量，此时(0，1，1)设与n所成的角为，则cos .二面角AB1EA1的大小为30，|cos|cos30，即，解得a2，即AB的长为2.解：()证明：取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1则ABACAOBC，面ABC面BB1C1CAO面BB1C1C，同理：A1O1面BB1
10、C1C，得：AOA1O1A，O，A1，O1共面又OO1BC，OO1AOOBC面AOA1O1AA1BC.()延长A1O1到D，使O1DOA，得：O1D綊OAAD綊OO1，OO1BC，面A1B1C1面BB1C1COO1面A1B1C1AD面A1B1C1，AA15.()AOBC，A1OBCAOA1是二面角ABCA1的平面角，在RtOO1A1中，A1O2.在RtOAA1中，cosAOA1，得：二面角ABCA1的余弦值为.解：()证明：法一：连结AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因
11、此MN平面AACC.法二：取AB中点P，连结MP，NP，而M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.()以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系Oxyz，如上图所示设AA1，则ABAC，于是A(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，A(0，0，1)，B(，0，1)，C(0，1)，所以M(，0，)，N(，1)设m(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，由，得可取m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由得可取n(3，1，)因为AMNC为直二面角，所以mn0.即3(1)(1)20，解得.解：(1)t0.5时，P的横坐标xp7t，代入抛物线方程yx2，得P的纵坐标yp3.由|AP|，得救援船速度的大小为海里/时由tanOAP，得OAParctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan度(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t2)由vt，整理得v2144337.因为t22，当且仅当t1时等号成立，所以v21442337252，即v25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船
