1、穿插滚动练(五)内容：不等式、函数与导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何一、选择题1 若集合Ax|x0，且ABB，则集合B可能是()A1,2 Bx|x1C1,0,1 DR答案A解析因为ABB，所以BA，因为1,2A，所以答案为A.2 设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an为递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析“a1a2a3”“数列an是递增数列”3 要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 2x的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位答案D解析要得到函数ysin，只需将函数
2、ysin 2x中的x减去，即得到ysin 2sin.4 已知各项都是正数的等比数列an中，存在两项am，an(m，nN*)使得4a1，且a7a62a5，则的最小值是()A. B. C. D.答案A解析记等比数列an的公比为q(q0)，依题意有a5q2a5q2a5，由a50，得q2q20，解得q2，又(a12m1)(a12n1)16a，即2mn224，mn24，mn6，(mn)5(54)，当且仅当n2m时“”成立5 已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30与到y轴的距离之和的最小值是()A.B.C2 D.1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，
3、由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.6 已知抛物线x22py(p0)的焦点F恰好是双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()A. B1C1 D无法确定答案C解析依题意得，c，F的坐标为(0，c)，两条曲线交点的连线垂直y轴，将yc代入双曲线方程得交点横坐标为，代入抛物线方程得22cc，b22ac，c2a22ac，e22e10，e1，由e1得e1，故选C.7 已知直线l平面，直线m平面，
4、有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的命题()A BC D答案C解析对于，由l，l，又因为直线m平面，所以lm，故正确，同理可得正确；与不正确，故选C.8 已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D3答案A解析设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.9 已知函数f(x)sin xx(x0，)，那么下列结论正确的是()Af(x)在上是增函数Bf(x)在上是减函数Cx0，f(x)f()Dx0，f(x)f()答案D解析注意到f(x)cos x，当x(0，)时
5、，f(x)0；当x(，)时，f(x)0，b0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线()A相交 B相离C相切 D不确定答案C解析左焦点F为(c,0)，渐近线方程为yx即bxay0，圆心到直线的距离为b，所以相切11在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析连接BA1，因为CD1BA1，所以A1BE即为异面直线BE与CD1所成的角，令AA12AB2，则EB，A1E1，A1B，故由余弦定理得cosA1BE，即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.12已知抛物线y22px(p0)
6、上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A. B.C. D.答案A解析由于M(1，m)在抛物线上，m22p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x的距离也为5，15，p8，由此可以求得m4，双曲线的左顶点为A(，0)，kAM，而双曲线的渐近线方程为y，根据题意得，a.二、填空题13已知斜率为2的直线l过抛物线y2px(p0)的焦点F，且与y轴相交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为1，则p_.答案4解析设直线l的方程为：y2，令x0，得y，即点A的坐标为.SOAF|OF|OA
7、|1，p4.14长度都为2的向量，的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，mn，则mn的最大值是_答案解析建立平面直角坐标系，设向量(2,0)，向量(1，)设向量(2cos ，2sin )，0.由mn，得(2cos ，2sin )(2mn，n)，即2cos 2mn,2sin n，解得mcos sin ，nsin .故mncos sin sin.15过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为_答案解析依题意知OFG(G为垂足)为等腰直角三角形，则，即ab，故双曲线为等轴双曲线，离心率为.16如图，在矩形ABCD
8、中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，BC边上存在点Q，使得PQQD，则实数a的取值范围是_答案2，)解析如图，连接AQ，PA平面AC，PAQD，又PQQD，PQPAP，QD平面PQA，于是QDAQ，在线段BC上存在一点Q，使得QDAQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，1，a2.三、解答题17设函数f(x)sin xcos xcos(x)cos x(xR)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数yf(x)的图象按b平移后得到函数yg(x)的图象，求yg(x)在0，上的最大值解(1)f(x)sin 2xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x).
9、故f(x)的最小正周期为T.(2)依题意g(x)f(x)sin 2(x)sin (2x).当x0，时，2x，g(x)为增函数，所以g(x)在0，上的最大值为g().18如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值(1)证明以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，则D(0，m,0)，E(，0)可得(，n)，(m，1,
10、0)因为00，所以PEBC. (2)解由已知条件可得m，n1，故C(，0,0)，D(0，0)，E(，0)，P(0,0,1)，设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)，由(1,0，1)可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.19已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且a1b12，b454，a1a2a3b2b3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)数列cn满足cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d，bn的公比为q，由b4b1q3，得q327，从而q3，因此bnb1qn123n1，又a1a2a33a2b2b361824，
11、a28，从而da2a16，故ana1(n1)66n4.(2)cnanbn4(3n2)3n1，令Tn130431732(3n5)3n2(3n2)3n1.3Tn131432733(3n5)3n1(3n2)3n.两式相减得2Tn133133233333n1(3n2)3n13(3n2)3n1(3n2)3n，Tn，故Sn4Tn7(6n7)3n.20已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标解(1)将圆C配方得：(x1)2(y
12、2)22.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为ykx，由直线与圆相切得：y(2)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为xya0，由直线与圆相切得：xy10或xy30.故切线方程为y(2)x或xy10或xy30.(2)由|PO|PM|，得：xy(x11)2(y12)222x14y130.即点P在直线l：2x4y30上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OPl.直线OP的方程为：2xy0.解方程组得P点坐标为.21已知函数f(x)x3ax2bx.(1)若函数yf(x)在x2处有极值6，求yf(x)的单调递减区间；(2)若yf(x)的导数f(x)对x1,1都有f(x)
13、2，求的取值范围解(1)f(x)3x22axb，依题意有即解得f(x)3x25x2.由f(x)0，得x2.yf(x)的单调递减区间是.(2)由得不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由得Q点的坐标为(0，1)设z，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率kPQ1，由图可知z1或z2，即(，2)1，)22如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：tt为定值(1)解设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0)(2)证明设A(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，故xyxy.因为点A，A均在椭圆上，所以b2xb2x.由t1t2，知x1x2，所以xxa2.从而yyb2，因此tta2b2为定值
