1、考点规范练7函数的奇偶性与周期性基础巩固1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(-,0)内单调递增的是()A.y=x2B.y=2|x|C.y=log21|x|D.y=sin x3.(2021全国)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,则f53=()A.-53B.-13C.13D.534.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1B.5C.-1D.-55.(2021广西南宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2
2、)=-f(x),且在区间0,1上是减函数,则有()A.f32f-14f14B.f14f-14f32C.f32f14f-14D.f-14f32f146.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log1242)的值为()A.0B.1C.2D.-27.(2021新高考)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则()A.f-12=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=08.设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x-2,f(2)=m-3m,则m的取值范围是.11.已知
3、f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)=.12.(2021新高考)写出一个同时具有下列性质的函数f(x):.f(x1x2)=f(x1)f(x2);当x(0,+)时,f(x)0;f(x)是奇函数.能力提升13.已知奇函数f(x)是R上的增函数,g(x)=xf(x),若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bca14.(2021江苏连云港模拟改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)与f(x+1)都为奇函数,则下列说法错误的是()A.f(
4、x-1)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+2)为偶函数15.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x-12,则xf(x)0的解集为.16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x.若12a0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.高考预测18.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x-1,0时,f(x)=1-x2,则f20203=()A.109B.119C.139D.169答案：1.C解析f(-x)=
5、-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-,0)(0,+),f(x)为奇函数.f(x)的图象关于坐标原点对称.2.C解析函数y=x2在区间(-,0)内是减函数;函数y=2|x|在区间(-,0)内是减函数;函数y=log21|x|=-log2|x|是偶函数,且在区间(-,0)内是增函数;函数y=sinx不是偶函数.故选C.3.C解析f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).f(x+1)=f(-x),f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),函数f(x)是周期为2的周期函数,则f53=f2-13=f-13=13.故选C.4.B解析令g(x)=f(x)+x,由题意可
6、得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.5.C解析因为f(x)为奇函数,f(x+2)=-f(x),则f32=-f-32=f-32+2=f12,奇函数f(x)在区间0,1上为减函数,f(x)在区间-1,1上为减函数,又11214-14-1,f12f14f-14,即f32f14f-14.6.A解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(log1242)=f(-log2252)=f-52=-f52.又f(x+2)=f(x),所以f52=f12=212-2=0.所以f(log1242)=0.7.B解析因为函数f(x+2)为偶函数,
7、则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,且定义域为R,所以F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.8.D解析f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.9.0解析因为f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,所以f(-
8、x)=-f(x),且f(0)=0.因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.因为f(1)=2,所以f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,又f(2)=-f(0)=0,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2020)=505f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.10.(-,-1)(0,3)解析由题意f(1)-2,f(x)是奇函数,故有f(-1)2.又周期函数f(x)是定义在R上的
9、奇函数,f(x)的最小正周期为3,故f(2)=f(-1)2.f(2)=m-3m,m-3m0时,解得0m3;当m0时,解得m0时有f(x)0,满足,f(x)=4x3的定义域为R,又f(-x)=-4x3=-f(x),故f(x)是奇函数,满足.13.C解析由f(x)为奇函数,知g(x)=xf(x)为偶函数.因为f(x)在R上单调递增,f(0)=0,所以当x0时,f(x)0,所以g(x)在区间(0,+)内单调递增.又a=g(-log25.1)=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),20.82=log24log25.1log28=3,所以bac.故选C.14.D解析由题意知,f(-x-
10、1)+f(x+1)=0且f(-x+1)+f(x+1)=0,f(1-x)=f(-1-x),即f(x-1)=f(x+1),可得f(x)=f(x+2),f(x)是周期为2的周期函数,且f(x-1),f(x+2)为奇函数,故A,B正确,D错误;由上知,f(x+1)=f(x+3),所以f(x+3)为奇函数,C正确.15.x|x1或x=0或x-1解析因为f(x)为R上的奇函数,且当x0时,-x0,12-12x0或x=0或x0,2x-120,解得x1或x=0或x-1.16.5解析f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2的函数.若x-1,0,则-x0,1,此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知
11、f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图象,如图所示.因为12a34,且当a=12和a=34时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.17.-8解析f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(x)=f(4-x)且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在区间-2,2上是增函数,在区间2,6上是减函数.据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):其图象也关于直线x=-6对称,x1+x2=-12,x3+x4=4,x1+x2+x3+x4=-8.18.C解析因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(-x)=f(x+2).又f(x)=2-f(-x),所以f(x+2)+f(x)=2,f(x+4)+f(x+2)=2,所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期T=4,所以f20203=f1684+43=f43.因为当x-1,0时,f(x)=1-x2,所以f43=f1+13=f1-13=f23=2-f-23=2-1-232=2-59=139.7
