1、等比数列的性质及应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1已知等比数列an中，a3a1316，则a8的值等于()A4 B8 C4 D8【解析】选C.因为aa3a1316，所以a84.2已知等比数列满足a5a82，a6a78，则q3()A B2 C或2 D2【解析】选C.由等比数列的性质可知，a5a8a6a78，又因为a5a82，所以a54，a82，或a52，a84，所以q32或.3(2020全国卷)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24 C30 D32【解析】选D.设等比数列的公比为q，则a1a2a3a11，a2a3a4a1qa1q
2、2a1q3a1qq2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5q532.4设an是由正数组成的等比数列，公比q2，且a1a2a3a30230，那么a3a6a9a30等于()A210 B220 C216 D215【解析】选B.设Aa1a4a7a28，Ba2a5a8a29，Ca3a6a9a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10210，由条件得ABC230，所以B210，所以CB210220.5若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为()A B C1 D1【解析】选D.由题知2a13，所以a2.由b24得b2，所以1.6某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家
3、庭2020年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2030年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为()参考数据：1.0581.48，1.0591.55，1.05101.63，1.05111.71A14.8万元 B15.5万元C16.3万元 D17.1万元【解析】选C.由题意知，该家庭2021年1月1日本金加收益和为10(15%)101.05，2022年1月1日本金加收益和为101.052，2023年1月1日本金加收益和为101.0532030年1月1日本金加收益和为101.0510101.6316.3.所以到203
4、0年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元二、填空题(每小题5分，共10分)7等比数列an中，a13，q2，则a4_，an_【解析】a4a1q332324，ana1qn132n1.答案：2432n18若等差数列和等比数列满足a1b11，a2b22，则a5b5_.【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d211，q2，所以a5a14d5，b5b1q416，故a5b580.答案：80三、解答题(每小题10分，共20分)9已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a22，a3a4a564，求an的通项公式【解析】设数列an的公比为q(q0).因为a1a22，所以a1a1
5、q2，即a1.又因为a3a4a564，所以a3(1qq2)64，即a3.联立，解得q2，a11，故an2n1(nN*).10在等比数列an(nN*)中，a11，公比q0.设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an；(3)试比较an与Sn的大小【解析】(1)因为bnlog2an，所以bn1bnlog2an1log2anlog2 log2q(q0)为常数，所以数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)因为b1b3b56，所以(b1b5)b32b3b33b36，即b32.又因为a11，所以b1log2a10，又因
6、为b1b3b50，所以b50，即即解得因此Sn4n(1).又因为dlog2q1，所以q，b1log2a14，即a116，所以an25n(nN*).(3)由(2)知，an25n0，当n9时，Sn0，所以当n9时，anSn.又因为a116，a28，a34，a42，a51，a6，a7，a8，S14，S27，S39，S410，S510，S69，S77，S84，所以当n3，4，5，6，7，8时，an0，且a5a2n522n(n3)，则当n3时，log2a1log2a3log2a2n1等于()A2n B2n2 Cn2 Dn【解析】选C.log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)l
7、og2(a1a2n1)log2(a5a2n5)log2(22n)log22n2n2.4等比数列an的各项均为正数，已知向量a(a4，a5)，b(a7，a6)，且ab4，则log2a1log2a2log2a10()A12 B10 C5 D2log25【解析】选C.向量a(a4，a5)，b(a7，a6)，且ab4，所以a4a7a5a64，由等比数列的性质可得：a1a10a4a7a5a62，则log2a1log2a2log2a10log2(a1a2a10)log2(a1a10)5log2255.二、填空题(每小题5分，共20分)5在3和一个未知数间填上一个数，使这三个数成等差数列，若中间项减去6则成
8、等比数列，则此未知数是_【解析】设此三数为3，a，b，则解得或所以这个未知数为3或27.答案：3或276在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为_【解析】设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c，8成等比数列，由等比数列的性质可得b2ac84，因为a2b0，所以b2(负值舍去).所以这3个数的积为abc428.答案：87数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10b112，则a21_【解题指南】解答本题首先要注意b1b2b3b20a21，另外要注意根据b10b112用等比数列性质求b1b2b3b20.【解析】因为bn，所以b1，b2，b3，b20
9、.以上各式相乘，得b1b2b3b20a21，因为数列bn为等比数列，所以b1b20b2b19b3b18b10b112，所以a21b1b2b3b202101 024.答案：1 0248在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.【解析】因为a7a8a9a10，a8a9a7a10，所以.答案：【一题多解】因为a7a8a9a10，a8a9，所以，即.又a7a10a8a9，所以.所以.答案： 三、解答题(每小题10分，共30分)9已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*).(1)求a1，a2，a3的值(2)设bnan3，证明数列bn为等比数列，并求通项公式an.【解析】(1)
10、由已知，当n1时，a1S12a131，解得a13，当n2时，S22a232a1a2，解得a29，当n3时，S32a333a1a2a3，解得a321.(2)因为Sn2an3n，所以Sn12an13(n1)，两式相减得an12an3，所以2，又因为b1a136，所以bn是首项为6，公比为2的等比数列，bn62n1，所以anbn362n133(2n1).【补偿训练】 设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数(1)求a1及an；(2)若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值【解析】(1)由Snkn2n，得a1S1k1.当n2时，anSnSn12knk1.经验证
11、，n1时，上式也成立，所以an2knk1.(2)因为am，a2m，a4m成等比数列，所以aama4m，即(4mkk1)2(2kmk1)(8kmk1)，整理得mk(k1)0.因为对任意的mN*成立，所以k0或k1. 10已知数列的通项公式an2n6.(1)求a2，a5；(2)若a2，a5分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式【解析】(1)因为an2n6，所以a22，a54，(2)由题意知：等比数列中，b1a22，b2a54，公比q2，等比数列的通项公式bnb1qn1(2)(2)n1(2)n.11已知数列an的前n项和Sn3n25n，数列bn中，b18，64bn1bn0，问是否存在常数c
12、，使得对任意的正整数n(nN*)，anlogc bn恒为常数m？若存在，求出常数c和m的值；若不存在，请说明理由【解题指南】先求出an与bn，假设存在c与m，利用n的任意性建立c，m的方程，判断解是否存在【解析】因为Sn3n25n，所以当n2时，anSnSn16n2，而a1S18适合上式所以an6n2，由64bn1bn0得，所以bn是首项为8，公比为82的等比数列所以bn8(82)n1832n.假设存在常数c和m，使anlogc bnm恒成立，则6n2logc 832nm，即(62logc 8)n(23logc 8)m，对任意nN*恒成立所以解得所以存在常数c2，使得对任意nN*，恒有anlo
13、gcbn11.【补偿训练】 设关于x的二次方程anx2an1x10(n1，2，3，)有两根和，且满足6263.(1)试用an表示an1.(2)求证：是等比数列(3)当a1时，求数列an的通项公式及项的最值【解析】(1)由根与系数的关系得代入6()23得3，所以an1an.(2)因为an1an，所以an1. 若an，则方程anx2an1x10可化为x2x10，即2x22x30，此时(2)24230，所以an，即an0，所以是公比为的等比数列(3)当a1时，a1，所以是首项为，公比为的等比数列，所以an，所以an的通项公式为an，n1，2，3，.由函数y在(0，)上单调递减知当n1时，an的值最大，最大值为a1.