1、宜昌市 2020 届高三年级四月线上统一调研测试 数学（理科）参考答案 命题：（当阳一中）审题：（夷陵中学）（三峡高中）（五峰高中）一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)题号123456789101112答案DDBCCABCDBAB二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13.1414.5.9515.PEED（AEPD，BCEC，222BCCEBE等其它填法若正确也给分），32316.(3,2)三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解：（1）由3(cos)sinabCcB，可得3sin3sincossinsinABCBC，即3sin()
2、sinsin3sincosBCBCBC，（2 分）展开化简得3cossinsinsinBCBC，（4 分）又在 ABC中，sin0C，所以 tan3B，（5 分）又 0B，所以3B（6 分）（2）因为 ABC的面积1sin2 32SacB，所以8ac，（7 分）由余弦定理得222222cos()2()3bacacBacacacacac，（9 分）因为2 6b，可得2()48ac，所以4 3ac，（11 分）所以2 64 3abc，即 ABC的周长为 2 64 3（12 分）18（1）证明：在图 1 中，ADBC，ABAD，又 ABEF，所以 ABFE 是矩形，所以在图 2 中，BFAE，又 A
3、E 平面 AED，所以 BF平面 AED，（2 分）因为 EDFC，又 ED 平面 AED，所以 FC平面 AED，（3 分）又因为 BFFCF，所以平面 BFC平面 AED，（4 分）而 BC 平面 BFC，所以 BC平面 AED（5 分）（2）解：因为 EDFC，所以AED是 AE 与 FC 所成的角，所以60AED，因为 EF 平面 AED，故平面CDEF 平面 AED，作 AOED于点O，则 AO 平面CDEF，以O 为原点，平行于 EF 的直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OA 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,3)A，(3,0,3)B，(3,5,0)
4、C，(0,2,0)D，(0,1,0)E，(3,1,0)F（7 分）(3,2,3)BD ，(0,6,0)FC，(0,6,0)FCFM，(0,61,3)BMBFFM，设平面 BMD 的法向量为(,)mx y z，则3230(61)30mxyzmyBBMzD ，取3y，得(32 3,3,61)m（9 分）平面 EMD 的一个法向量为(0,0,1)n，（10 分）设二面角 BMDE的平面角为，所以222|61|61|cos|48247(32 3)3(61)177m nm n，平方整理得21750，因为 01，所以517（12 分）19解：（1）由题意得1(,0)Aa，2(,0)A a，(0,)Pb，则
5、22212(,)(,)1PA PAabababc ，所以1c，（2 分）又222,22abccea所以2a，1b，所以椭圆 E 的方程为2212xy（4 分）（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l：4ykx，11(,)A x y，22(,)B xy，则22(,)Mxy，由2241,2,yyxxk消去 y 得22(12)16300kxkx由22(16)120(12)0kk ，得2152k，所以1221612kxxk，1223012x xk（6 分）12121212121244()AMyykxkxk xxkxxxxxx，OBAFEDCMxyz直线 AM 的方程为121112()()k xxyyxx
6、xx，（7 分）即121112()()k xxyyxxxx121112()4()k xxkxxxxx11212112(4)()()()kxxxk xxxxxx1212121224()()kx xxxkx xxxx12121212()24k xxkx xxxxxx，（9 分）因为1221612kxxk，1223012x xk，所以21212230221124416412kkx xkkxxk，直线 AM 的方程为可化为1212()14k xxyxxx，则直线 AM 恒过定点1(0,)4（11 分）当直线l 的斜率不存在时，直线 AM 也过点1(0,)4，综上知直线 AM 恒过定点1(0,)4（12
7、 分）20解：（1）平均数(0.02 10.08 30.15 50.1870.03 9x 0.03 110.01 13)26，（2 分）这 500 名患者中“长潜伏者”的频率为(0.180.030.030.01)20.5，所以“长潜伏者”的人数为5000.5250人（3 分）（2）由题意补充后的列联表如下，则2k 的观测值为230090 8060 705.3575.024150 150751160 1404k，（6 分）经查表，得2(5.024)0.025P k，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关（7 分）（3）由题意知所需要的试验费用 X 所有可能的取值为 1000，1500，2
8、000，因为2252A1A110000P X，2112323353CA1+000A35A1CP X，1112332245CA200C3A05AP X（或11223335363(2000)605C C AP XA）（10 分）所以 X 的分布列为X100015002000P11031035110001500200017501303105E X（元）（12 分）21（1）解：11()(0)axfxaxxx，（1 分）当0a 时，()0fx恒成立，函数()f x 在(0,)上单调递增，无极值（2 分）当0a 时，由()0fx，得10 xa，函数()f x 在1(0,)a上单调递增，由()0fx，得1
9、xa，函数()f x 在 1(,)a 上单调递减，()f x 极大值为11()ln1ln1fbabaa ，无极小值（4 分）综上所述，当0a 时，()f x 无极值；当0a 时，()f x 极大值为ln1ab，无极小值（5 分）（2）由()f xex可得()f xlnxaxbex，设()()h xlnxea xb，所以1()h xeax，0 x，当 a e 时，()0h x，()h x 在(0,)上是增函数，所以()0h x 不可能恒成立，当 ae时，由1()0h xeax，得1xae，（7 分）当1(0,)xae时，()0h x，()h x 单调递增，当1(xae，)时，()0h x，()h
10、 x 单调递减，所以当1xae时，()h x 取最大值，1()()1 0hln aebae ，（8 分）所以()1 0ln aeb ，即1()bln ae，所以1()()bln aeaeaeae，（9 分）令1()()()ln xeF xxexe，221()1()()()()()xeln xeln xexeF xxexe ，当(1xe，)时，()0F x，()F x 单调递增，当(,1)xe e时，()0F x，()F x 单调递减，所以当1xe 时，()F x 取最小值，即()(1)1F xF e ，所以bae的最小值为 1（12 分）22解：（1）由222242xtyt 消去参数t 得直线
11、l 的普通方程为.02 yx（2 分）由2sin2cos得曲线C 的直角坐标方程为.22xy（5 分）（2）将222242xtyt 代入xy22 得.0202522tt（6 分）设方程的两根为21,tt，则,40,210,02121tttt（7 分）故222212121 21 21 2()2(10 2)2 40|340MQMPttttt tMPMQt tt t.（10 分）23解：（1）因为9abc，所以 2221 222()()9abcabcabc1222222(6)9bacacbabacbc（3 分）1222222(6222)29bacacbabacbc，即 2222abc，所以 222abc的最小值2t（5 分）（2）当2t 时，8(3)()|2|2|3|34(32)8(2)xxf xxxxxxx ，可得()5f x ，（7 分）存在实数 x，使不等式2()23f xmm有解，则2max()23f xmm，从而2523mm，即2280mm，解得 24.m 所以实数m 的取值范围是 24.m（10 分）
