1、函数奇偶性的应用(习题课)A级基础巩固1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)恒成立，且f(1)1，则f(3)f(4)f(5)的值为()A1B1C2 D0解析：选Df(x)是R上的奇函数，f(1)1，f(1)f(1)1，f(0)0.依题意得f(3)f(14)f(1)1，f(4)f(04)f(0)0，f(5)f(14)f(1)1.因此，f(3)f(4)f(5)1010，故选D.2已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. BC. D解析：选A由题意得|2x1|，即2x1，即2x，解得x，故选A.3若奇函数f(x)在区间2，5上的最小值是6
2、，那么f(x)在区间5，2上有()A最小值6 B最小值6C最大值6 D最大值6解析：选C因为奇函数f(x)在2，5上有最小值6，所以可设a2，5，有f(a)6.由奇函数的性质，f(x)在5，2上必有最大值，且最大值为f(a)f(a)6.4(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A|f(x)|g(x)是奇函数Bf(x)|g(x)|是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数D|f(x)|g(x)是偶函数解析：选BDA中，令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，A
3、中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是偶函数，可得g(x)g(x)，由f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|知C错误；D中，由|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，知D正确故选B、D.5已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x3，则f(2)的值是()A8 B8C. D解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)f(2)(2)38，故选B.6已知函数f(x)为偶函数，且
4、当x0时，f(x)_解析：当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.答案：x17若函数f(x)为奇函数，则fg(1)_解析：根据题意，当x0时，f(x)g(x)，又f(x)为奇函数，g(1)f(1)f(1)(1221)3，则fg(1)f(3)f(3)(3223)15.答案：158已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x0时，f(x)_解析：当x0时，x0，则f(x)x(x1)x(x1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)f(x)x(x1)答案：x(x1)9已知定义在(1，1)上的函数f(x).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(1，1)上的单调性；(2)解不等式f(t
5、1)f(2t)0.解：(1)因为f(x)，所以f(x)f(x)故f(x)为奇函数任取x1，x2(1，1)且x10，1x1x20且分母x10，x10，所以f(x2)f(x1)，故f(x)在(1，1)上为增函数(2)因为定义在(1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有即解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为(1，1)解析：选ABf(1)f(1)0，A正确；x0时，f(x)xx2，f(x)的最大值为，B正确；f(x)在上是减函数，C错误；f(x)0的解集为(1，0)(0，1)，D错误12已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇
6、函数与偶函数，且f(x)g(x)x22，则f(2)()A BC3 D解析：选Af(x)g(x)x22，f(x)g(x)(x)22x22，又函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)x22，联立消去g(x)，得f(x)，f(2).故选A.13函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是_解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.答案：x|1x314已
7、知函数f(x)x2(b1)x1是定义在a2，a上的偶函数，g(x)f(x)|xt|，其中a，b，t均为常数(1)求实数a，b的值；(2)试讨论函数g(x)的奇偶性；(3)若t，求函数g(x)的最小值解：(1)由题意，得解得(2)由(1)得g(x)x2|xt|1，x1，1当t0时，g(x)x2|x|1g(x)，则函数g(x)为偶函数；当t0时，g(x)为非奇非偶函数(3)g(x)f(x)|xt|所以函数g(x)在t，1上单调递增，则g(x)ming(t)t21；函数g(x)在1，t上单调递减，则g(x)ming(t)t21.综上，函数g(x)的最小值为t21.C级拓展探究15(2021安徽师大附
8、中高一月考)已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数；(3)解关于实数t的不等式f(t1)f(t)0.解：(1)因为函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，所以f(0)0，得b0.又知f，所以，解得a1，所以f(x).(2)证明：设x1和x2是区间(1，1)上任意两个实数，且x1x2，则f(x2)f(x1)，由于1x1x21，所以1x1x20，所以0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(1，1)上是增函数(3)因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(t1)f(t)0等价于f(t1)f(t)f(t)，即f(t1)f(t)，又由(2)知f(x)在(1，1)上是增函数，所以解得0t，即原不等式的解集为.