1、高要二中2013届高三数学月考2试卷（理科） 2012.10 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合，若，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 2. 下列选项叙述错误的是 ( )A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若命题，则C. 若为真命题，则、至少有一个为真命题D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件3.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）A. B. C. D.4. 函数 的值域为 ( )A. B. C. D. 5. 函数 的图象大致是（ ）6. 设 = 2, = , =
2、 , 则 ( )A . B. C . D .7. 已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间 0, 6 上与 轴的交点的个数为( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 88. 对于函数 (其中，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是( ) A1和2 B1和3 C2和4 D4和6二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分） （一）必做题（913题）9. 函数与互为反函数，则的定义域为_.10. 函数有一个零点所在的区间为 ，则的值为_ 11. 函数 则的解集为_.12. 在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线
3、段PQ长的最小值是_.13. 函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数例如，函数=2x+1()是单函数下列命题：函数（xR）是单函数；指数函数（xR）是单函数；若为单函数，且，则；在定义域上为单调函数的函数一定是单函数其中的真命题是_（写出所有真命题的编号）（二）选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为_.15.（几何证明选讲选做题）如图，的半径，是弦延长线上的一点，过点作的切线，切点为，若 ，则圆心到弦的距离是 .PAOBC三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知为锐
4、角，且tan , 求 的值17. 设全集为R，集合Ay | ysin ( 2x )， ，集合B|关于的方程x2ax10的根一个在( 0, 1 )上，另一个在(1, 2 )上 , 求 (RA)(RB) 18. 设函数 , . (1) 当时，函数是否有极值？说明理由；(2) 若，当时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求 的取值范围.19. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千
5、米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数(1)当时，求函数的表达式；(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.20. 已知奇函数的定义域为，且在上是增函数, 是否存在实数 使得, 对一切都成立？若存在，求出实数 的取值范围； 若不存在，请说明理由.21.已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线.(1) 当时, 求的最大值;(2) 设直线 与 曲线的交点的横坐标分别为 , 且 , 求证: .参考答案一. 选择题： CDBD ACCA二. 填空题： 9. 10. 3 11. 12. 4 13.
6、14. 15. 3 三、解答题：16. 解： 原式cos.又tan，为锐角，.cos2，cos. 原式.17.解：在集合A中，x，2x.sin(2x) ，1Ay|y1在集合B中，记f(x)x2ax1，由题意知， Ba|a1或 y ，RBa|a2或a(RA)(RB)x|x 或2x118. 解：（1） 由题意f(x)=x2-2ax-a， a= - 1时, f(x)=x2+2x+1=(x+1)20， f(x)在R上为增函数，无极值.（2） 设f(x)=g(x) ，则有x3-x2-3x-c=0，c=x3-x2-3x,设F(x)= x3-x2-3x , G(x)=c，令F(x)=x2-2x-3=0, 解
7、得x = - 1或 x=3.列表如下：x-3(-3,-1)-1(-1,3)3(3,4)4F(x)+0-0+F(x)- 9增减-9增由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数. 当x= - 1时，F(x)取得极大值 ；当x=3时，F(x)取得极小值F(-3)=F(3)= - 9，而 .如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以 或 c=-9. 19.解：（1）由题意：当时，；当时，设，在是减函数，由已知得， 解得 故函数的表达式为=（2）依题意并由（1）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当，即时，等号成立所以，当时，在区间上取得最大值综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆20. 解: 奇函数的定义域为 恒成立又在上单调递增 设， （1）当即时 （舍） （2）当即时 （3）当即时 ，综上 21解：（1） 单调递增， 单调递减， （2）不妨设，要证只需证 ，即 令 ，只需证， 令 则 ,在单调递增. 在单调递增.，