1、32.2 半角的正弦、余弦和正切第三章 三角恒等变换第三章 三角恒等变换 1.了解半角公式推导的过程 2.理解半角的正弦、余弦和正切公式 3能正确运用半角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换半角公式栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos 21cos 2.()(2)对于任意 R，sin 212sin 都不成立()(3)若 是第一象限角，则 tan 21cos 1cos.()栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第
2、三章 三角恒等变换2若 cos 13，且(0，)，则 cos 2的值为()A 63 B 63C 63D 33答案：A栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换3已知 cos 45，32，2，则 sin 2等于()A 1010B 1010C3 310D35答案：B栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换4已知 cos 35，且 180270，则 tan 2_答案：2栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换 利用半角公式求值 已知 sin 45，且52 3，求 cos2和 tan2的值【解】因为 s
3、in 45，52 3，所以 cos 1sin235.由 cos 2cos221，得 cos221cos 215.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换因为54 232，所以 cos21cos 2 55.所以 tan2sin2cos22cos2sin22cos22sin 1cos 2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围
4、栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan 2sin 1cos 1cos sin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 sin2 21cos 2，cos2 21cos 2计算 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换 已知 sin cos 1225，且42，求 sin，cos 的值解：因为 sin cos 1225，所以 sin 22425，又因为42，所以22，sin 0，cos 0，所以 cos 20，栏目导引探究案讲练互动应用
5、案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换所以 cos 2 1sin22 124252 725，所以 sin 1cos 22 1 725245，cos 1cos 221 725235.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换 三角函数式的化简 化简：（1sin cos）sin 2cos 222cos(0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换【解】原式2sin2 22sin 2cos 2 sin 2cos 222sin222sin 2sin 2cos 2 sin 2cos 22sin 2 sin 2sin22cos22
6、sin 2sin 2cos sin 2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换因为0，所以220，所以 sin 20，所以原式sin 2cos sin 2cos.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换 若本例中式子变为（1sin cos）sin 2cos 222cos(0)，则化简后的值是什么？解：原式2sin 2cos 22cos2 2 sin 2cos 24cos2 2 cos 2sin2 2cos2 2cos 2cos 2cos cos 2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换因
7、为 0，所以 022，所以 cos 20，所以原式cos.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换化简：cos32 tan 2（1cos）1cos(0)解：因为 tan 2sin 1cos，所以(1cos)ta
8、n 2sin，又因为 cos32 sin，且 1cos 2sin2 2，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换所以原式sin sin 2sin2 2 2sin 2sin 22 2sin 2cos 2sin 2.因为 0，所以 022.所以 sin 20.所以原式2 2cos 2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换 利用半角公式证明三角恒等式 求证：cos21tan2tan214sin 2.【证明】法一：左边cos21cos sin 1cos sin cos22cos sin 12sin cos 14sin 2右边，所以
9、原式成立 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换法二：左边cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos22sin22sin2cos2 cos2sin2cos2cos22sin22cos2sin2cos2cos sin2cos2cos 12sin cos 14sin 2右边 所以原式成立栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换(1)三角恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种 无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等 有条件的恒等式证明，常
10、常先观察条件与欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证(2)进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换 求证：1sin cos 1sin cos tan2.证明：左边（1cos）sin（1cos）sin 2sin222sin2cos22cos222sin2cos2 sin2sin2cos2cos2sin2cos2 tan2右边栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换半角公式的
11、变形较多，应用时要针对题目的条件选择适当的公式例如，待求式中同时含有 sin，cos，tan2时，应选择公式 tan2sin 1cos 1 cos sin；含有三角函数的平方形式时，一般选择降幂公式；对根式的化简常常需要升幂去根号栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换失误防范运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都要取栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换1设(，2)，则 1cos（）2等于()Asin2 Bcos2Csin2Dcos2栏目导引探究案讲练互
12、动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换解析：选 A.原式1cos 2sin22|sin2|.又因为(，2)，所以22，所以 sin20，所以原式|sin2|sin2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换2若 cos 22a，则 sin 11_，cos 11_解析：cos 222cos211112sin211，所以 cos 111cos 2221a2，sin 111cos 2221a2.答案：1a2 1a2栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换3已知 cos 79，且 270360，则 cos2的值为_解析：因为 cos 2cos221，所以 cos221cos 2，因为 270360，所以 1352180，所以 cos20，所以 cos21cos 21792 2 23.答案：2 23栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第三章 三角恒等变换本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放