1、函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1已知定义在R上的函数f(x)，其导函数yf(x)的大致图象如图所示，则下列叙述一定正确的是()A.f(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)【解析】选C.由题意得，x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上单调递增，因为abf(b)f(a).2函数f(x)1xsin x在(0，2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上递增，在(，2)上递减D在(0，)上递减，在(，2)上递增【解析】选A.f(x)
2、1cos x，因为x(0，2)，所以cos x1，1)，所以1cos x0恒成立，即f(x)0在x(0，2)上恒成立，所以f(x)在(0，2)上是增函数3定义在R上的函数f(x)满足f(x)2，且f(1)3，则不等式f(x)2x1的解集为()A(，0) B(0，)C(1，) D(，1)【解析】选C.f(x)2x1的解集即f(x)2x10的解集构造函数g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2，因为f(x)2，所以g(x)f(x)20，所以g(x)f(x)2x1在R上单调递增，且g(1)f(1)210，所以f(x)2x10的解集为(1，)，即不等式f(x)2x1的解集为(1，).4若函数yx3
3、2bx6在区间(2，8)内单调递增，则()Ab6 Bb6【解析】选A.因为y3x22b，由题意知y0在(2，8)内恒成立，即bx2在(2，8)内恒成立，所以b6.5若函数f(x)xsin 2xa sin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A1，1 BC D【解析】选C.方法一：用特殊值法：取a1，f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)上单调递增，排除A，B，D.方法二：f(x)1cos 2xa cos x0对xR恒成立，故1(2cos2x1)a cosx0，即a cos xcos2x0恒成立，令tcosx，所以t2at0对t
4、1，1恒成立，构造函数g(t)t2at，开口向下的二次函数g(t)的最小值的可能值为端点值，故只需解得a.6(多选题)已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上单调递减，则实数a的可能取值是()A2 B1 C1 D2【解析】选BC.由题意得f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，且仅在有限个点上f(x)0，则有4a2120，解得a.二、填空题(每小题5分，共10分)7函数f(x)sin x，x的单调递减区间是_【解析】f(x)cos x，x，令f(x)0，解得x0，所以函数f(x)的单调递增区间是，(0，).3函数y的图象大致是()【解析】选C.因为yf(x)f(x)，所以yf(x)为奇函数，
5、所以yf(x)的图象关于原点中心对称，可排除B.又因为当x0时，f(x)，f(x)，所以当xe时，f(x)0，所以函数f(x)在(e，)上单调递减；当0xe时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，e)上单调递增故可排除A，D，而C满足题意4(2021八省联考)已知a5且ae55ea，b4且be44eb，c3且ce33ec 则()Acba Bbca Cacb Dab0，f(x)，当x(0，1)时，f(x)0，函数在(1，)上递增，如图所示，所以abc.二、填空题(每小题5分，共20分)5若函数f(x)x3ax2x6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是_【解析】f(x)3x22ax1，由已
6、知得3x22ax10在(0，1)内恒成立，即ax在(0，1)内恒成立，令g(x)x，又当x(0，1)时，g(x)x的值域为(，1)，所以a1.答案：1，)6函数yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_【解析】由图象可知f(x)在和2，3)上单调递减，由导函数的定义知f(x)单调递减时f(x)0，由此知f(x)0的解集为2，3).答案：2，3)7若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是_【解析】因为f(x)x2ax在上是增函数，故f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立令h(x)2x，则h(x)2，当x时，h(x
7、)0，则h(x)为减函数，所以h(x)h3，所以a3.答案：3，)8若函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_.【解析】f(x)ax2.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f(x)0在(0，)内有解当a0时，yax22x1为开口向上的抛物线，ax22x10在(0，)内恒有解；当a0在(0，)内有解，则解得1a0；当a0时，显然符合题意综合上述，a的取值范围是(1，).答案：(1，)三、解答题(每小题10分，共30分)9已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围(2)是否存在实数a，使f(x)在(1，1)上单调递减？若存在
8、，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)由已知，得f(x)3x2a.因为f(x)在(，)上单调递增，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对x(，)恒成立因为3x20，所以只需a0.(2)假设f(x)3x2a0在(1，1)上恒成立，则a3x2在x(1，1)时恒成立因为1x1，所以3x23，所以只需a3.当a3时，在x(1，1)上，f(x)3(x21)0，即f(x)在(1，1)上单调递减，所以a3.故存在实数a3，使f(x)在(1，1)上单调递减10已知函数f(x)axx2x ln ab(a，bR，a1)，e是自然对数的底数(1)试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调
9、性；(2)当ae，b4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k1)上存在零点【解析】(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.因为a1，所以当x(0，)时，ln a0，ax10，所以f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增(2)因为f(x)exx2x4，所以f(x)ex2x1，所以f(0)0.当x0时，ex1，所以f(x)0，所以f(x)是(0，)上的增函数同理，f(x)是(，0)上的减函数又f(0)30，f(1)e40，f(2)e220，当x2时，f(x)0，所以当x0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，所以k1满足条件f(0)30，f(1)20，f(2
10、)20，当x2时，f(x)0，所以当x0时，函数f(x)零点在(2，1)内，所以k2满足条件综上所述，k1或2.11已知函数f(x)ln xax1，aR.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间(2)当0a时，讨论f(x)的单调性【解析】(1)当a1时，f(x)ln xx1，x(0，)，所以f(x)，x(0，).由f(x)0，得x1或x2(舍去)，所以当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增故当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1).(2)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，).令g(x
11、)ax2x1a，x(0，).当a0时，g(x)x1，x(0，)，当x(0，1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增.当0a时，令f(x)0，即ax2x1a0，解得x1或1，此时110，所以当x(0，1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当0a时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减