1、乘法公式与全概率公式 (15分钟30分)1某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为()A0.21 B0.72 C0.75 D0.96【解析】选B.设A：任取的一件是合格品，B：任取的一件是一等品，因为P(A)1P()96%，P(B|A)75%，所以P(B)P(AB)P(A)P(B|A)0.72.2设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()A0.08 B0.
2、1 C0.15 D0.2【解析】选A.以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P，P，P，P，P，P；则由全概率公式，所求概率为PPPPPPP0.08.3如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为()A0.085 B0.226 C0.625 D0.815【解析】选C.以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P，P，P，P，P，P，所以P0.08，P 0.625.【补偿训练】 设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占
3、，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为()A B C D【解析】选A.设Ai：取到第i号袋子，i1，2，3，4，5.B：取到白球，由贝叶斯公式得P(A1 |B).4盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为_【解析】设A：第一次抽出的是黑球，B：第二次抽出的是黑球，则BABB，由全概率公式，P(B)P(A)P(B|A)+P()P(B|)， 由题意，P(A)，P(B|A)，P()，P(B|)，所以P(B).答案：5某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来
4、的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%、35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率【解析】设A1：药材来自甲地， A2：药材来自乙地，A3：药材来自丙地， B：抽到优等品；P0.4，P0.35，P0.25，P0.65，P0.7，P0.85，PPPPPPP0.650.40.70.350.850.250.717 5. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1某学校有甲、乙两家餐厅，学生张小明第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐如果他第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.6；如果
5、他第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.8，则张小明第2天去甲餐厅的概率为()A0.4 B0.6 C0.7 D0.9【解析】选C.设A1“第1天去甲餐厅”，B1“第1天去乙餐厅”，A2“第2天去甲餐厅”，则A1B1，且A1与B1互斥由题意得，PP0.5，P0.6，P0.8.由全概率公式得PPPPP0.50.60.50.80.7.【误区警示】要正确地将事件A2分解为A1A2与B1A2这两个互斥事件的和2装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为()A B C D【解析】选
6、C.设事件A从箱中任取2件都是一等品，事件Bi丢失的为i等品(i1，2，3)，则P(A)P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3)，故所求的概率为P(B1|A).3某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为()A0.814B0.809C0.727D0.652【解析】选A.以Ai表示一批产品中有i件次品，i0，1，2，3，4，B表示通过检验，
7、则由题意得，P(A0)0.1，P(B|A0)1，P(A1)0.2，P(B|A1) 0.9，P(A2)0.4，P(B|A2) 0.809，P(A3)0.2，P(B|A3) 0.727，P(A4)0.1，P(B|A4) 0.652.由全概率公式，得P(B)(Ai)P(B)0.110.20.90.40.8090.20.7270.10.6520.814.4假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如表：甲厂乙厂市场占有率合格率在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为()A B C D【解析】选B.用A表示买到的电脑是甲厂生产的，B表示买到的电脑是合格品，
8、则P(A)，P()P(B|A)，P(B|)，由贝叶斯公式可知P(A|B).【补偿训练】 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由_车间生产的可能性最大()A甲B乙C丙 D无法确定【解析】选A.设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙车间，B表示产品为次品的事件，易知A1，A2，A3是样本空间中的事件，且有P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.2，P(B|A1)0.04，P(B|A2)0.02，P(B|A3)0.05.由全概率公式得 P(B)P(A1)P(B|
9、A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.450.040.350.020.20.050.035.由贝叶斯公式得P(A1|B)0.514，P(A2|B)0.200，P(A3|B)0.286，所以，该次品由甲车间生产的可能性最大二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%.将这两批产品混合后，从中任取1件. 则下列说法正确的是()A这件产品是合格品的概率为0.949B这件产品是次品的概率为0.949C已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为D已知取到的是
10、合格品，那么它取自第二批产品的概率为【解析】选AC.设Ai“产品取自第i批”，B“产品是合格品”，则A1A2，且A1与A2互斥由题意得P0.3，P0.7，P0.97，P0.94.(1)由全概率公式得，PPPPP0.30.970.70.940.949.(2)P.6在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S 在病人中占60%.则()A任意一位病人有症状S 的概率为0.02B病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4C病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45D病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25【解
11、析】选ABC.P(D1)0.02，P(D2)0.05，P(D3)0.005，P(S|D1)0.4，P(S|D2)0.18，P(S|D3)0.6，由全概率公式得P(S)(Di)P(S|Di)0.020.40.050.180.0050.60.02.由贝叶斯公式得：P(D1|S)0.4，P(D2|S)0.45，P(D3|S)0.15.三、填空题(每小题5分，共10分)75张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为_，第三个人摸到中奖彩票的概率为_【解题指南】利用全概率公式求解【解析】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai ，显然P(A1)，而P(A2)PA2(A11)P(
12、A2A1)P(A21)P(A2A1)P(A21)P(A1)P(A2|A1)P(1)P(A2|1)0，P(A3)PA3(A1A2A121A2A1 A2) P(A1A2A3)P(A12A3)P(1A2A3)P(12A3)000P(A312)P(1)P(2|1)P(A3|12).答案：8设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球若在盒中连取四次，则第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率为_【解析】设Ri(i1，2，3，4)表示第i次取到红球的事件，Ri(i1，2，3，4)表示第i次取到白球的事件则有P(R1R2R3 R4)P(R1)P(R2
13、)P(R3)P(R1R23).答案：【补偿训练】 甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件则P(B)_【解析】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，且A1A2A3，所以P(B)PB(A1A2A3)P(BA1)P(BA2)P(BA3) P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) .答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为
14、，第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若前两次未打破，第三次落下时打破的概率为，求透镜落下三次未打破的概率【解析】以Ai，i1，2，3表示事件“透镜落下第i次时打破”，以B表示事件“透镜落下三次未打破”，因为BA1 A2 A3，所以PPPPP.10假定患有疾病d1，d2，d3中的某一个的人可能出现症状S中一个或多个，其中：S1食欲不振 S2胸痛S3呼吸急促 S4发热现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数据：疾病人数出现S中一个或几个症状人数 d17 7507 500d25 2504 200d37 0003 500试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，在没
15、有别的可依据的诊断手段情况下，推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”，Di表示事件“患者患有疾病di”(i1，2，3)，由于该问题数据很多，用事件的频率近似作为概率，由统计数据可知，P0.387 5，P0.262 5，P0.35，P0.967 7，P0.8，P0.5，所以PPPPPPP0.387 50.967 70.262 50.80.350.50.76.由贝叶斯公式可得，P0.493 4，P0.276 3，P0.230 3.从而推测病人患有疾病d1较为合适1盒中放有12个乒乓球，其中9 个是新的第1次比赛时从中选取3个来用，比赛后仍放回盒中，
16、第2次比赛时再从盒中任取3个则第2次取出的球都是新球的概率为_；如果第2次取出的球都是新球，则第1次取到的都是新球的概率为_【解析】设Ai：第一次比赛时用了i个新球，i0，1，2，3，B：第二次取出的球全是新球；P，P，所以PP0.146，因为第二次取出的全是新球，PPP，所以P0.24.答案：0.1460.242袋中有n个球，其中n1个红球，1个白球n个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i(i1，2，n)人取到白球的概率【解析】设Ai表示“第i人取到白球”(i1，2，n)的事件，显然P(A1).由A2 A1，故A21A2，于是P(A2)P(1A2)P(1)P(A2|1).类似有P(A3)P(12 A3)P(1)P(2|1)P(A3|12)，P(An) P(12n1An)1，因此第i个人(i1，2，n)取到白球的概率与i无关，都是.