1、-1-本章整合知识建构 综合应用 真题放送 知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 专题一 利用空间向量处理线面位置关系问题 利用空间向量可以方便论证空间中的一些线面位置关系,如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.应用 1 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 DB,D1C上,且 DE=D1F=23 a,其中 a 为正方体棱长.求证:EF平面 BB1C1C.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 证明:如图所示,以 D为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 E 3,3,0,F 0,3,23
2、 ,故 =-3,0,23 .又 =(0,a,0)显然为平面 BB1C1C 的一个法向量,而 =(0,a,0)-3,0,23 =0,所以 .又 E平面 BB1C1C,所以 EF平面 BB1C1C.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 应用2 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求证:平面O1DC平面ABCD;(2)若点E,F分别在棱AA1,BC上,且AE=2EA1,问点F在何处时,EFAD?知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三(1)证明:如图所示,以 O 为坐标原点,直线
3、OA,OB,OA1分别为 x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 OA=1,OA1=a,则 A(1,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,a),C(-1,0,0),D(0,-1,0),O1(-1,0,a).则1 =(1,-1,-a),1 =(0,0,-a).设 m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面 O1DC 和平面 ABCD 的法向量.由 1 =0,1 =0,即 1-1-1=0,1=0.令 x1=1,则 m=(1,1,0),而 n=1 =(0,0,a).故 mn=0,即平面 O1DC 与平面 ABCD 的法向量垂直,故平面O1DC平面 ABCD.知识建构 综合应
4、用 真题放送 专题一 专题二 专题三(2)解:由(1)可知,=13,0,23 ,1 =(-1,0,a),=(-1,-1,0).设 =,则 =(-,-,0),故点 F 的坐标为(-,1-,0).=13+,-1,23 .FEAD,=0,即 =-13-+1=0,=13.当 F 为 BC 的三等分点(靠近 B)时,有 EFAD.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 专题二 空间角 1.异面直线所成的角.求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法两种.定义法主要借助于构造出的平行四边形的对边和三角形的中位线;向量法就是在两异面直线上取方向向量,将两异面直线所成的角与两方向向量的夹角
5、联系在一起,但应注意两方向向量的夹角,当2 时,-才是所求,因为异面直线所成角的范围是 0,2.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 2.直线与平面的夹角.求直线和平面所成的角有传统法和向量法两种.传统法关键是找斜线在平面内的射影,从而找出线面角;向量法则可建立空间直角坐标系,利用向量的运算求解.3.平面间的夹角.求平面间的夹角也有传统法和向量法两种.传统法是找到两平面夹角的平面角,然后解这个角所在的三角形或多边形;向量法是建立空间直角坐标系,用两平面的法向量研究两平面的夹角,但要结合图形认真判断.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 应用1 在正三棱柱ABC-
6、A1B1C1中,所有棱的长度都是2,M是BC边的中点,在侧棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45?提示:根据异面直线的夹角公式,求出当两直线所成角为定值时的N点坐标.解:以点 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为所有棱长都等于 2,所以 A(0,0,0),C(0,2,0),B(3,1,0),B1(3,1,2),M 32,32,0.假设存在点 N 在侧棱 CC1上,可设 N(0,2,m)(0m2),则1 =(3,1,2),=-32,12,知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 于是|1|=2 2,|=2+1,1 =2m-1,如果异面直线 AB1和
7、 MN 所成的角等于 45,那么向量1 和 的夹角是 45或135,所以 cos=1|1|=2-12 2 2+1=22,解得 m=-34,这与 0m2 矛盾.即在侧棱 CC1上不存在点 N,使得异面直线 AB1和 MN 所成的角等于 45.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 应用2 如图所示,在三棱锥P-ABC中,APB=90,PAB=60,AB=BC=CA,平面PAB平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值;(2)求平面ABP与平面ACP的夹角的余弦值.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 解:(1)设AB的中点为D,过点P作POAB于点O,连
8、接CD.平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AD,PO平面ABC,POCD.由AB=BC=CA,知CDAB.由题意知 OA=12PA=14AB,即 O 是 AD 的中点.设E为AC的中点,连接OE,则EOCD,从而OEPO,OEAB.如图所示,以O点为坐标原点,直线OB,OE,OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 不妨设 PA=2,由已知条件得 AB=4,OA=OD=1,OP=3,CD=2 3,O(0,0,0),A(-1,0,0),C(1,2 3,0),P(0,0,3),=(-1,-2 3,3),而 =(0,0,3)为平面
9、ABC 的一个法向量.设 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角,则 sin=|=0+0+3 16 3=34,故直线 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 34.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三(2)由(1),得 =(1,0,3),=(2,2 3,0).设平面 APC 的一个法向量为 n=(x1,y1,z1),则 ,=0,=0,(1,1,1)(1,0,3)=0,(1,1,1)(2,2 3,0)=0,1+31=0,21+2 31=0.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 令 x1=-3,得 y1=1,z1=1,n=(-3,1,1).设平面 ABP 与平面 A
10、CP 的夹角为,易知 为锐角.平面 ABP 的一个法向量为 m=(0,1,0),则 cos=|=1 3+1+11=55,故平面 ABP 与平面 ACP 的夹角的余弦值为 55.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 专题三 空间距离 1.对于一些比较基本的题目,由于表示距离的线段比较容易求出,因而常用直接法.2.求点A到直线l的距离d,当Al时,d=0;当Al时,用距离公式.3.求点A到平面的距离d,当A时,d=0;当A时,用距离公式.另外还有直接法和体积变换法.知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 应用 已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a,侧棱垂直于
11、底面,D是侧棱CC1的中点,问a为何值时,点C到平面AB1D的距离为1.解:建立如图的空间直角坐标系.由题设可知 A 32,2,0,C(0,a,0),B1(0,0,a),D 0,2,于是有1 =-32,-2,1 =0,-2,=-32,2,0.设 n=(x,y,z)为平面 AB1D 的法向量,则 1 =0,1 =0,知识建构 综合应用 真题放送 专题一 专题二 专题三 即-32-2 +=0,-2 =0.令 y=1,可得 n=(3,1,2).所以点 C 到平面 AB1D 的距离 d=|=24 a.令 24 a=1,解得 a=2 2.即 a=2 2时,点 C 到平面 AB1D 的距离为 1.知识建构
12、 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 71(2018全国卷高考)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD的夹角的正弦值.(1)证明:由已知,得BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(2)解:作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以 H 为坐标原点,的方向为y 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1),得 DE
13、PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE=3.又 PF=1,EF=2,故 PEPF.可得 PH=32,=32.则 H(0,0,0),0,0,32 ,-1,-32,0,=1,32,32 ,=0,0,32 为平面ABFD的一个法向量.设DP与平面ABFD的夹角为,知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7则 sin=|=34 3=34.所以 DP 与平面 ABFD 的夹角的正弦值为 34.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 72(2018北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G 分别为 AA1,AC,A1C1,BB1 的中点,
14、AB=BC=5,=1=2.(1)求证:AC平面BEF;(2)求平面BCD与平面CDC1夹角的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BCD相交.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,ACEF.AB=BC,ACBE,AC平面BEF.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(2)解:由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1.CC1平面ABC,EF平面ABC.BE平面ABC,EFBE.建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),
15、G(0,2,1).知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7 =(2,0,1),=(1,2,0).设平面 BCD 的一个法向量为 n=(a,b,c),则 =0,=0,2+=0,+2=0,令 a=2,则 b=-1,c=-4,平面 BCD 的一个法向量为 n=(2,-1,-4).又平面 CDC1 的一个法向量为 =(0,2,0),cos=|=2121.平面 BCD 与平面 CDC1 夹角的余弦值为 2121.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(3)证明:平面BCD的一个法向量为n=(2,-1,-4),G(0,2,1),F(0,0,2),=(0,2,1),n =2
16、.n与 不垂直,FG与平面BCD不平行且不在平面BCD内,FG与平面BCD相交.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 73(2018全国卷高考)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC =2 2,=4,为的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且平面MPA与平面PAC的夹角为30,求PC与平面PAM的夹角的正弦值.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以 OPAC,且 OP=2 3.如图,连接 OB,因为 AB=BC=22,所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB=12 =2.由
17、OP2+OB2=PB2,知POOB.由OPOB,OPAC,知PO平面ABC.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(2)解:如图,以 O 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知,得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3),=(0,2,2 3).取平面 PAC 的一个法向量 =(2,0,0),设 M(a,2-a,0)(0a2),则 =(,4 ,0).设平面 PAM 的一个法向量为 n=(x,y,z).由 n=0,n=0,得 2+2 3=0,+(4-)=0.由此可取 n=(3(4),3,),所以 cos
18、=2 3(-4)2 3(-4)2+32+2.由已知,得|cos|=32.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7所以2 3|-4|2 3(-4)2+32+2=32,解得 a=-4(舍去),a=43.所以 n=-8 33,4 33,-43.又 =(0,2,2 3),所以cos=34.所以 PC 与平面 PAM 的夹角的正弦值为 34.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 74(2018全国卷高考)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,是 上异于,的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MC
19、D夹角的正弦值.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为 M为 上异于C,D 的点,且 DC 为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(2)解:以 O 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.当三棱锥 M-ABC 体积最大时,M为 的中点.由题设,得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,
20、0),M(0,1,1),则 =(2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).设 n=(x,y,z)是平面 MAB 的一个法向量,则 =0,=0,即 -2+=0,2=0.由此可取 n=(1,0,2),知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7 是平面MCD 的一个法向量,因此 cos=|=55,sin=2 55.所以平面 MAB 与平面 MCD 夹角的正弦值是2 55.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 75(2018天津高考)如图,ADBC,且AD=2BC,ADCD,EGAD,且EG=AD,CDFG,且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.
21、(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN平面CDE;(2)求平面EBC与平面BCF夹角的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7解:依题意,可以建立以 D 为原点,分别以 ,的方向为x 轴、y轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),0,32,1,(1,0,2).(1)证明:依题意 =(0,2,0),=(2,0,2).设 n0=(x,y,z)为平面
22、CDE 的一个法向量,则 0 =0,0 =0,即 2=0,2+2=0,不妨令 z=-1,可得 n0=(1,0,-1).又 =1,-32,1,可得 n0=0.又因为直线 MN平面 CDE,所以 MN平面 CDE.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(2)依题意,可得 =(1,0,0),=(1,2,2),=(0,1,2).设 n=(x,y,z)为平面 ECB 的一个法向量,则 =0,=0,即 -=0,-2+2=0,不妨令 z=1,可得 n=(0,1,1).设 m=(x,y,z)为平面 BCF 的一个法向量,则 =0,=0,即 -=0,-+2=0,不妨令 z=1,可得 m=(0,
23、2,1).因此有 cos=|=3 1010,于是 sin=1010.所以,平面 EBC 与平面 BCF 夹角的正弦值为 1010.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(3)设线段 DP 的长为 h(h0,2),则点 P 的坐标为(0,0,h),可得 =(1,2,).易知,=(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量,故|cos|=|=2 2+5.由题意,可得2 2+5=sin 60=32,所以 h=33 0,2.所以,线段 DP 的长为 33.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 76(2017全国卷高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=C
24、DP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求平面APB与平面CPB的夹角的余弦值.(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(2)解:在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.以 F 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)及已知可得 22,0,0,0,0,22 ,22,1,0,-
25、22,1,0.所以 =-22,1,-22 ,=(2,0,0),=22,0,-22 ,=(0,1,0).知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7设 n=(x,y,z)是平面 PCB 的一个法向量,则 =0,=0,即 -22 +-22 =0,2=0.由此可取 n=(0,-1,2).设 m=(x,y,z)是平面 PAB 的一个法向量,则 =0,=0,即 22-22 =0,=0.由此可取 m=(1,0,1).则 cos=|=33,故平面 APB 与平面 CPB 之间夹角的余弦值为 33.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 77(2017全国卷高考)如图,四棱锥P-AB
26、CD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=12,BAD=ABC=90,E 是 PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD的夹角为45,求平面MAB与平面DAB的夹角的余弦值.知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF.所以CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.因为 E 是 PD 的中点,所以 EFAD,EF=12.由BAD=ABC=90,得 BCAD,又 BC=12,所以EFBC,所以四边形 BCEF 是平行四边形,知识建构 综合应用 真题放送
27、 1 2 3 4 5 6 7(2)解:由已知得 BAAD,以 A 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),=(1,0,3),=(1,0,0).设 M(x,y,z)(0 x1),则 =(1,),=(,1,3).知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量,所以|cos|=sin 45,|(-1)2+2+2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又 M 在棱 PC 上,设 =,则 x=,y=1,z=3 3.由解得 =1+22,=1,=-62(舍去),=1-22,=1,=62,所以 1-22,1,62 ,从而 =1-22,1,62 .知识建构 综合应用 真题放送 1 2 3 4 5 6 7设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的一个法向量,则 =0,=0,即 (2-2)0+20+60=0,0=0,所以可取 m=(0,6,2).于是 cos=|=105.因此平面 MAB 与平面 DAB 的夹角的余弦值为 105.
