1、二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 (15分钟30分)1观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A8 B6 C4 D2【解析】选B.由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.【补偿训练】如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a7时，b等于()A20B21C22D23【解析】选C.由a7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为(115)即16，所以b61622.2已知bxn1a0a1(x1)a2(x1)2an(x1)n，对任意xR恒成立，且a19，a236，则b()A4 B3 C2 D1【解析】选D.由已知得bxn1b(x1)1n1a0a1
2、(x1)an(x1)n，所以a1Cbnb9，a2Cb36，所以n18，n9，所以b1.【补偿训练】对任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为()A3B6C9D21【解析】选B.由于x33，其展开式的通项为C23rr，当r2时，为C21262，故a26.3已知(12x)6a0a1xa2x2a6x6，则|a0|a1|a2|a6|()A1 B1 C36 D26【解析】选C.由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零所以|a0|a1|a2|a6|a0a1a2a3a4a5a6.令x1，得a0a1a2a3a4a5a636.所以|a0|a1|a2|
3、a6|36.4(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a11(x1)11，则a1a2a3a11的值为_.【解析】令x1，得a02.令x2，得a0a1a2a110.所以a1a2a3a112.答案：25已知nN*，C2C3CnC192，且(32x)na0a1xa2x2anxn.求：(1)展开式中各项的二项式系数之和(2)a0a2a4a6.(3)|a0|a1|an|.【解析】因为iCinC(i1，2，n)，所以C2C3CnCn(CCC)n2n1326，所以n6.(1)展开式中各项的二项式系数之和为2664.(2)令x1，得a0a1a61，令x1，得a0a1a2a656，相加得
4、a0a2a4a67813.(3)令x1，得|a0|a1|an|56.【补偿训练】已知(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求：(1)a0a1a2a3a4；(2)(a0a2a4)2(a1a3)2.【解析】(1)由(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，令x1得(23)4a0a1a2a3a4，所以a0a1a2a3a41.(2)在(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中，令x1得(23)4a0a1a2a3a4，令x1得(23)4a0a1a2a3a4.所以(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(23)4(23)4(23)4(23)46
5、25. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01三角”在“01三角”中，从第1行起，设第n(nN)次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于()A26 B27 C7 D8【解题指南】由于是将奇数换成1，故C都是奇数，分别验证n6，7时C的情况，直接得出正确选项【解析】选D.第1行和第3行全是1，已经出现了2次，依题意，第6行原来的数是C，而C6为偶数，不合题意；第7行原来的数是C，即1，7，21，35，35，21，7，1全为奇数，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情况【补偿训练】如图，在杨辉三角中，虚线
6、所对应的斜行的各数之和构成一个新数列an，则数列的第10项为_【解析】由题意a11，a21，a32，a4123，a5235，a6358，a75813，a881321，a9132134，a10213455.答案：552已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212B211C210D29【解析】选D.因为(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以CC，解得n10，所以二项式(1x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为21029.3已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n()A4 B5 C6 D7【解析】选C.二项
7、式的各项系数的和为(13)n4n，二项式的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以2n64，n6.4已知(12x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为()A B C D【解析】选A.aC70，设bC2r，则得5r6，所以bC26C26728，所以.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知(ab)n展开式中第5项的二项式系数最大，则n可能等于()A7 B8 C9 D10【解析】选ABC.第5项的二项式系数最大，故第5项是展开式最中间的一项或两项之一若n为偶数，则共有9项，n8；若n
8、为奇数，则共有8项或10项，所以n7或9.6对任意实数x，有(2x3)9a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a9(x1)9.则下列结论成立的是()Aa2144Ba01Ca0a1a2a91Da0a1a2a3a939【解析】选ACD.对任意实数x，有(2x3)9a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a9(x1)912(x1)9，所以a2C22144，故A正确；故令x1，可得a01，故B不正确；令x2，可得a0a1a2a91，故C正确；令x0，可得a0a1a2a939，故D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7记f(m，n)为(1x)6(1y)4展开式中xmyn项的系数，则f(3，0
9、)f(2，1)f(1，2)f(0，3)_.【解析】f(3，0)C20，f(2，1)CC60，f(1，2)CC36，f(0，3)C4，所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)2060364120.答案：1208(2021浙江高考)已知多项式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，则a1_；a2a3a4_【解析】因为(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，由二项式展开定理可得：a1CC5，令x1可得各项系数和：(x1)3(x1)424，所以a2a3a416a1110.答案：510四、解答题(每小题10分，共20分)9求证：32n28n9(nN*)能被64整除【证
10、明】32n28n9(81)n18n9C8n1C8nC8n9C8n1C8nC828(n1)18n9C8n1C8nC82，该式每一项都含因式82，故能被64整除10已知的展开式中，前三项的系数成等差数列(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项【解析】(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知2CCC，解得n8(n1舍去).(2)的展开式的通项Tr1C()8r2rCx4(r0，1，8)，要求有理项，则4必为整数，即r0，4，8，共3项，这3项分别是T1x4，T5x，T9.(3)设第r1项的系数为ar1最大，则ar12rC，则1，1，解得2r3.当r2时，a3
11、22C7，当r3时，a423C7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T37x，T47x【补偿训练】在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.(1)求n的值(2)求展开式中所有的有理项(3)求展开式中系数最大的项【解题指南】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果(2)由通项公式分别计算当r0，2，4，6时的有理项(3)设展开式中第r1项的系数最大，列出不等式求出结果【解析】(1)由题意知：Tr1C2rx2nr，则第4项的系数为C23，倒数第4项的系数为C2n3, 则有，即，所以n7. (2)由(1)可得Tr1C2rx14r(r0
12、，1，7)，当r0，2，4，6时，所有的有理项为T1，T3，T5，T7，即T1C20x14x14，T3C22x984x9，T5C24x4560x4，T7C26x1448x1.(3)设展开式中第r1项的系数最大，则 r，所以r5，故系数最大项为T6C25x672x【创新迁移】已知函数f(x)(1x)n，nN*.(1)当n8时，求展开式中系数的最大项(2)化简C2n1C2n2C2n3C21.(3)定义：aia1a2an，化简：(i1)C.【解题指南】(1)根据题意知展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，n8，中间项为第5项，其系数最大(2)根据fnCCxCx2Cxn1Cxn，令x2，即可求值(3)原式添加C，利用倒序相加，化简即可【解析】(1)f8，所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T5Cx470x4.(2)fnCCxCx2Cxn1Cxn，所以原式n.(3)C 2C3CnCC， C CnC3C2C， 在，添加C，则得1C C2C3CnCC，1C CnC3C2C1C，得：2(1C)2n，所以 C2n11.