1、1.1.1 集合的含义与表示课堂导学三点剖析一、集合的概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)R=R;(2)方程组的解集为x=1,y=2;(3)x|y=x2-1=y|y=x2-1=(x,y)|y=x2-1;(4)平面内线段MN的垂直平分线可表示为P|PM=PN.思路分析：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型.处理此类问题关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法.解：(1)R=R是不正确的，R通常为R=x|x为实数，即R本身可表示为全体实数的集合，而R则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合. (2)方程组的解集为x=1,y=2是不对的,因为解集的元素是有
2、序实数对(x,y)，正确答案应为(x,y)|=(1,2). (3)x|y=x2-1=y|y=x2-1=(x,y)|y=x2-1是不正确的. x|y=x2-1表示的是函数自变量的集合，它可以为x|y=x2-1=x|xR=R. y|y=x2-1表示的是函数因变量的集合，它可以为y|y=x2-1=y|y-1. (x,y)|y=x2-1表示点的集合，这些点在二次函数y=x2-1的图象上. (4)平面上线段MN的垂直平分线可表示为P|PM=PN是正确的.温馨提示 正确理解集合表示方法对以后的学习有极大帮助.特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为(x,y)|的形式；对描述法
3、表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么.【例2】 已知a1,-1,a2，则a的值为_.解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题. a1,-1,a2, a可以等于1，-1，a2. (1)当a=1时，集合则为1，-1,1，不符合集合元素的互异性.故a1. (2)同上，a=-1时也不成立. (3)a=a2时，得a=0或1，a=1不满足舍去，a=0时集合为1,-1,0. 综上，a=0.答案：0温馨提示 集合元素的互异性指集合中元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关.因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互
4、异性、确定性.二、运用集合的两种表示方法正确地表示集合【例3】 用列举法表示下列集合.(1)y|y=x2-2,x3,xN;（2）(x,y)|y=x2-2,x3,xN.思路分析：首先认准描述法所表示集合的代表元素，然后根据条件求其值，用列举法将集合中的元素不计次序、不重复、不遗漏地列出来.解：(1)因为x3,xN，所以x=0,1,2,3.所以y=-2,-1,2,7.所以y|y=x2-2,x3,xN用列举法表示为-2，-1，2，7. （2）由上题可知，（x,y）|y=x2-2,x3,xN用列举法表示为(0,-2),(1,-1),(2,2),(3,7).温馨提示 列举法适合于表示集合是有限集，且元素
5、个数较少，但有时也可表示无限集或个数较多的集合，如：1，2，n,.【例4】 用描述法表示下列集合.（1）偶数集;（2）2，4，6，8;（3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合.解：（1）x|x=2n,nZ； (2)x|x=2n,1n4,nZ； (3)(x,y)|x0,且y0.温馨提示 用描述法表示集合时，要弄清楚元素的特征，使其具有符合性质的都属于集合，不具有性质的不属于集合.三、集合概念再理解【例5】 判断以下对象的全体能否组成集合.(1)高一一班的身高大于1.75 m的学生；(2)高一一班的高个子学生.思路分析：该例贴近于现实生活，能较好地帮助同学们正确理解集合元素的确定性.解：(1)高一
6、一班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学生可以组成集合. (2)高一一班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合.温馨提示 判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可.各个击破类题演练1(1) 下列命题是假命题的个数为_.1,2=(1,2) =x|x+1=1 解的集合为(x,y)|x=2或y=-6 x|x3 P|PO=3 cm(O是定点)表示圆解析：为假命题.答案：3(2)判断下列表示能否视
7、为集合表示：1,2,3,；s=t2+1；正方形.解析:不是集合表示.若用列举法表示无限集,应将元素间的规律表示出来.此集合可表示为1，2，3，n,. 不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么. 不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么，应写为x|x是正方形.(3)可以表示方程组的解集的是_.x=2,y=1 (x,y)|(2,1) 2,1 (2,1) (x,y)|x=2或y=1(x,y)|x=2且y=1 (x,y)|答案:变式提升1实数3，x,x2-2x中的元素x应满足的条件为：_解析：由集合元素的互异性可知x-1且x0且x3.类题演练2集合A=a,1,B=a2,a+b,0,aR,bR.若A=B，求
8、a2006+b2006的值.解析:由题目条件得解得a2006+b2006=1.变式提升2已知集合A=xR|ax2+2x+a=0,aR中只有一个元素，求a的值，并求这个元素.解析：由于A=xR|ax2+2x+a=0,aR只有一个元素， 因此，有两种情况. (1)a=0时，ax2+2x+a=0变为x=0,A=x|x=0满足条件. (2)a0时，ax2+2x+a=0有相等实根，即=4-4a2=0,得a=1. a=1时，A=xR|x2+2x+1=0=x|x=-1; a=-1时，A=x=R|x2-2x+1=0=x|x=1. 综上知，a=0时，A=x|x=0； a=1时，A=x|x=-1; a=-1时，A
9、=x|x=1.类题演练3用列举法表示下列集合.(1)不大于10的非负偶数；（2）方程（x-1）2(x-3)=0的解集；（3）方程组的解集.答案:（1）0，2，4，6，8，10；（2）1，3；（3）（2，1）.变式提升3(2006山东高考，1)定义集合运算：AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合A=0，1，B=（2，3），则集合AB的所有元素之和为（ ）A.0 B.6 C.12 D.18解析：取x=0时，z=0, 取x=1时，z=6或12， AB=0，6，12， 所求AB的元素之和为18，选D.答案：D类题演练4用描述法表示下列集合.（1）所有正奇数组成的集合;（2）坐标平面内x轴上的
10、点组成的集合.答案：（1）x|x=2n-1,nN*； (2)(x,y)|y=0.变式提升4用适当的方法表示下列集合.（1）由不等式x-32的所有解组成的集合;（2）由方程组的所有解组成的集合;（3）由小于10的非负奇数组成的集合.解：（1）x|x5; (2)(x,y)|或(2,3)； (3)1,3,5,7,9或x|x=2n-1，1n5,nZ.类题演练5以下说法的对象能组成集合的有_.所有的奇数 不小于-2的数 满足方程2x-y=0的解为坐标的点 很小的数 漂亮的花 不满足x+1=0的实数解析：中描述的元素都具有确定性，能构成集合，而中描述的元素都不具有确定性，即无法判断一个元素是否属于集合，故不能构成集合.答案：变式提升5已知满足“如果xA,则6-xA”的自然数x构成集合A.(1)若A是一个单元素集，则A=_;(2)若A有且只有两个元素，则A=_.解析：（1）3A,则6-3A,A=3； (2)2A,6-2A,A=2,4. 同理A=0，6或1，5.答案：（1）3 （2）2，4 0，6 1，5