1、独立性与条件概率的关系(15分钟30分)1已知事件A，B相互独立，且P0.5，P0.3，则P()A0.7 B0.5 C0.3 D0.2【解析】选A.因为P0.3，所以P0.7，因为事件A，B相互独立，所以PP0.7.2国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A B C D【解析】选B. 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C)，P()，P()，P()，由于A，B，C相互独立，故，也相互独立，故P( )，因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P1P( )1.3.如图，A，
2、B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为()A0.054B0.994C0.496 D0.06【解析】选B.记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.7.三个开关同时出现故障的事件为，则此系统正常工作的概率为P1P()1P()P()P()10.10.20.30.994.【补偿训练】 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()ABCD【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，C，D闭合的事
3、件分别为G，H，则P(T)P(R)1，所以灯亮的概率P1P(T)P(R)P()P().4事件A，B，C相互独立，如果P(AB)，P(C)，P(AB)，则P(B)_，P(B)_【解析】因为P(AB)P(AB)P()P()，所以P()，即P(C).又P(C)P()P(C)，所以P()，P(B).又P(AB)，则P(A)，所以P(B)P()P(B).答案：5甲、乙两人独立破译密码的概率分别为，.求：(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率【解析】记事件A为“甲独立译出密码”，事件B为“乙独立
4、译出密码”(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)P(A)P(B).(2)两个人都译不出密码的概率为P( )P()P()1P(A)1P(B)(1)(1).(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出；乙译出甲译不出，即AB，所以P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)(1)(1).(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，所以1P(AB)1.(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，所以1P( )1. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知A，B是相互独立事件，若P(A)0.2，P(ABBA)0.44，则P(B)等于()A0.3B0.4C
5、0.5D0.6【解析】选A.因为A，B是相互独立事件，所以，B和A，均相互独立因为P(A)0.2，P(ABBA)0.44，所以P(A)P(B)P()P(B)P(A)P()0.44，所以0.2P(B)0.8P(B)0.21P(B)0.44，解得P(B)0.3.2甲盒中有200个螺杆，其中有160个M型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个M型的从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成M型螺栓的概率为()A B C D【解析】选C.设“从甲盒中取一螺杆为M型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为M型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)，P(B)，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成M型螺栓的
6、概率为PP(AB)P(A)P(B).3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A B C D【解析】选D.设Ai(i1，2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军方法一：BA11A2，故P(B)P(A1)P(1)P(A2).方法二：P(B)1P(1 2)1P(1)P(2)1.4从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于()A2个球都不是红球的概率 B2个球都是红球的概率C至少有1个红球的概率D2个球中恰有1个红球的概率【解析】选C.
7、分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)，P(B)，由于A，B相互独立，所以1P()P()1，可知C正确二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是()AA与B BA与CCB与C D都不具有独立性【解析】选ABC.利用古典概型概率公式计算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25.可以验证P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P
8、(C)，P(BC)P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立6甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是()AP(A)P(B)P(C)BP(BC)P(AC)P(AB)CP(ABC)DP(A)P(B)P(C)【解析】选ABD.由已知P(A)，P(B)P(C)，由已知有P
9、(AB)P(A)P(B)，P(AC)，P(BC)，所以P(A)P(B)P(C)，则A正确；P(BC)P(AC)P(AB)，则B正确；事件A，B，C不相互独立，故P(ABC)错误，即C错误；P(A)P(B)P(C)，则D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为_【解析】设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”因为事件A与B相互独立，所以事件与相互独立所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P(AB)()P(AB)P
10、()P(A)P(B)P()P().答案：8荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是_【解析】青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径第一条：按ABCA，P1；第二条：按ACBA，P2，所以跳三次之后停在A叶上的概率为PP1P2.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被
11、击中，需至少布置几门高炮？【解析】(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A1A2A3A4A5因为事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，所以敌机未被击中的概率为P(A1A2A3A4A5)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)(10.2)5.所以敌机未被击中的概率为.(2)需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，可得敌机被击中的概率为1，所以令10.9，所以，两边取常用对数，得n10.3.因为nN*，所以n11.所以至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机10A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进
12、行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0，1，2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0，1，2.据题意有：P(A0)，P(A1)2，P(A2)，P(B0)，P(B1)2.所求概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2).(2
13、)所求概率P1.1某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p()A B C D【解析】选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1(1p)4，解得p或p(舍去).【补偿训练】 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，且是互相独立的将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是()ABCD【解析】选A.记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)，P(A2)，P(A3).不发生故障的
14、事件为(A2A3)A1，所以不发生故障的概率为PP(A2A3)A11P(2)P(3)P(A1)(1).2设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，每个人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值【解析】设Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0，1，2.B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，E表示事件：同一工作日4人需使用设备，F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)DA1BCA2BA2C，P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1BCA2BA2C)P(A1BC)P(A2B)P(A2C)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(C)0.37.(2)由(1)知，若k2，则P(F)0.370.1.又EBCA2，P(E)P(BCA2)P(B)P(C)P(A2)0.06.若k3，则P(F)0.060.1.所以k的最小值为3.8