1、第二节 简单几何体的表面积与体积教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.基础梳理1多面体的表面积与侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是，表面积是与之和所有侧面的面积之和侧面积底面面积2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧S 圆锥侧_S 圆台侧_rl(r1r2)
2、l2rl3.柱、锥、台、球的表面积和体积三基自测1(必修21.3练习改编)正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A48(3 3)B48(32 3)C24(6 2)D144答案：A2(必修2习题1.3A组改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为答案：1473(必修2第二章复习参考题改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为答案：3365 cm24(必修2习题1.3A组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为答案：3考点一|求空间几何体的表面积(易错突破)【例1】(
3、1)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为()A64 22 3 B84 2C66 2D62 24 3(2)已知某斜三棱柱的三视图如图所示，则该斜三棱柱的表面积为()A42 5 6B4 5 6C4 52 6D42(5 6)(3)如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A84 2 B10C11 D12解析(1)直观图是四棱锥PABCD，如图所示，SPABSPADSPDC 12 222，SPBC122 22 2sin 602 3，S四边形ABCD2 224 2，故此棱锥的表面积为64 22 3，故选A.(2)由题意知，斜三棱柱的直观图
4、如图中ABCA1B1C1所示易知正方体的棱长为2，斜三棱柱的两个底面积的和为2SABC212ABAC2，侧面ABB1A1的面积S侧面ABB1A1212，侧面ACC1A1为矩形，S侧面ACC1A1AA1AC25，侧面BCC1B1是边长为5 的菱形，连接CB1，BC1，易得CB123，BC122，且CB1BC1，所以S侧面BCC1B112CB1BC1122 32 22 6，所以斜三棱柱ABCA1B1C1的表面积为42(5 6)，故选D.(3)由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S422312，故选D.答案(1)A(2)D(
5、3)D名师点拨 空间几何体表面积的求法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用跟踪训练(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34答案：D(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为()A.12B 22C.52D 62答案：C考点二|求空间几何体的体积(方法突破)方法1 直接求几何体的体积【例2】正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥AB1D
6、C1的体积为()A3 B32C1 D 32解析 在正ABC中，D为BC中点，则有AD 32 AB 3，SDB1C1122 3 3.又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高V三棱锥AB1DC113SDB1C1AD13 3 31.答案 C方法2 利用割补法求几何体体积【例3】(1)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为(2)一个底面直径为4的圆柱用一个不平行于底的平面截去一部分后得到一个几何体(如图)截面上点到底面的最小距离为3，最高距离为5，则该几何体的体积为解析(1)由题图中
7、数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台13(AD2AD2BC2BC2)AB13(AD2ADBCBC2)AB13(222552)452(cm3)，V半球43AD312432312163(cm3)，所以旋转所形成几何体的体积VV圆台V半球52163 1403(cm3)(2)在该几何体的上方补接一个同样大小的几何体，使最小距离与最高距离相互对接，如图，则整个圆柱体积为22832.原几何体体积为16.答案(1)1403(cm3)(2)16名师点拨 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若所给定的几何体的体积是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利
8、用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练(1)已知一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A.323B163C.83D43解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥12(11)121312(11)1283，故选C.答案：C(2)如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为()A15 B13C12 D9解析：该几何体可看作一个三棱柱两端各去掉一个小三棱锥VV三棱柱2V三棱锥12235121323113.答案：B考点三|
9、球及球的组合体(思维突破)【例4】(1)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()A64 B32C16 D8(2)如图，直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A2 B1C.2D 22解析(1)如图，作PM平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM6，连接AM，AO，则OPOAR(R为外接球半径)，在RtOAM中，OM6R，OAR，又AB6，且ABC为等边三角形，故AM23 62322 3，则R2(6R)2(2 3)2，则R4，所以球的表面积S4R264.(2)由题意知，球心在侧
10、面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，BAC90，ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点设正方形BCC1B1边长为x，RtOMC1中，OMx2，MC1x2，OC1R1(R为球的半径)，x22x221，即x 2，则ABAC1，S矩形ABB1A1 21 2.故选C.答案(1)A(2)C名师点拨 空间几何体与球接、切问题的求解方法1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA
11、a，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解跟踪训练(1)将本例(2)改为直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上若ABBC2，ABC90，AA12 2，则球O的表面积为解析：由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即 22222 224，故球O的表面积S4R216.答案：16(2)在本例(1)中，若条件改为PAPBPC6，且两两垂直，试求三棱锥PABC外接球的体积解析：以PA，PB，PC为三棱补成一个正方体，体对角线长为626262 2R，则R3 3，V球43R343(3 3)3108 3.(3)在本例(1)中，若条件中改为所有棱长都为6，求内切球的表面积解析：设内切球心为O在三棱锥PABC的高PD上，D为ABC的中心，AD23 32 62 3，PD 622 322 6，VPABC13SABCPD413SABCR，R14PD 62，S球4R24646.
