1、试卷类型：A梅州市高三总复习质检试卷（2023.2）数学本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数满足，是虚数单位，则在复平面内的对应点落在（）A.第一象限B.第二象限C.第二象
2、限D.第四象限2.已知集合，则（）A.B.C.D.3.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图。根据此图，下列结论中错误的是（）A.B.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D.四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%4.已知，则（）A.B.C.D.5.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲
3、线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.6.若从0，1，2，3，9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为（）A.B.C.D.7.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，则（）A.B.C.D.8.九章算术是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”。现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，且，则此刍甍的外接球的表面积为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中
4、，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.函数（，）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.函数的图像关于悳线对称C.函数在单调递减D.函数是偶函数10.设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（）A若，则是数列的最大项B若数列有最小项，则C.若数列是递减数列，则对任意的：，均有D.若对任意的，均有，则数列是递增数列11.如图，在直三棱柱中，为棱的中点；为棱上的动点（含端点），过点、作三棱柱的截面，且交于，则（）A.线段的最小值为B.棱上的不存在点，使得平面C.棱上的存在点，使得D.当为棱的中点时，12.对于定义在区间上的函数，若满
5、足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（）A.B.，C.D.，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的系数为_.14.在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转60得到点，点的横坐标为_.15.甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A、B、C三个学校，并分别获得第、二、三名：已知：甲不是A校选手；乙不是B校选手；A校选手不是第一名；B校的选手获得第二名；乙不是第三名.根据上述情况，可判断出丙是_校选手，他获得的是第_名.16.函数的最小值为_.四、解答题；本题共6小题，共70分.解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，内角，的对边分别为，已知.（1.）求内角；（2）点是边上的中点，已知，求面积的最大值.18.（本小题满分12分）记是正项数列的前n项和，若存在某正数M，都有，则称的前n项和数列有界.从以下三个数列中任选两个，；，分别判断它们的前项和数列是否有界，并给予证明.19.（本小题满分12分）如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于.把沿翻折至的位置，连接、.（1）为边的一点，若，求赃：平面；（2）当四面体的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛
7、一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.队伍近10场胜场比队伍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁（1）三轮比赛结束后甲的积分记为，求；（2）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3、3、0、6，求甲队能小组出线的概率.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求函数的单
8、调区间；（2）若，讨论函数的零点个数.22.（本小题满分12分）已知动圆经过定点，且与圆：内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.（i）求证：为定值；（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.梅州市高三总复习质检（2023.2）数学参考答案与评分意见一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678CBBADDBC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
9、得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9101112ABBDABDACD三、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.4014.15.A；三16.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（1）在中，因为，由正弦定理得：，1分因为，所以，于是有，2分所以，即，3分因为，所以，4分所以，从而.5分（2）因为点是边上的中点，所以，6分对上式两边平分得：，7分因为，所以，即，8分而，有，所以，当且仅当时，等号成立.9分因此.10分即面积的最大值为.18.（本小题满分12分）解：数列的前项和数列有界，数列的前项和数列无界，证明
10、如下：若，则其前项和，2分因为，所以，则，4分所以存在正数1，即前项和数列有界.若，当时，2分其前项和，4分因为，所以，则，5分所以存在正数2，即前项和数列有界.6分若，其前项和为，2分对于任意正数，取（其中表示不大于的最大整数），有，4分因此前项和数列不是有界的.6分19.（本小题满分12分）（1）证明：取中点，连接，因为在正三角形中，又因为，所以，1分平面，平面，所以平面，2分又有，且，所以，而平面，平面，所以平面.3分有，所以平面平面，4分又平面，因此平面.5分（2）解：因为，又因为的面积为定值，所以当到平面的距离最大时，四面体的体积有最大值，6分因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面
11、平面，当时，平面平面，平面所以平面，即在翻折过程中，点到平面的最大距离是，因此四面体的体积取得最大值时，必有平面.7分如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直接坐标系，易知，8分因为平面，所以平面的法向量为，9分设平面的法向量为，由，令得：，所以，10分.11分所以平面与平面的夹角（锐角）的余弦值为.12分20.（本小题满分12分）解：（1）设甲的第场比赛获胜记为（，2，3），1分则有2分3分.4分（2）分以下三种情况：（i）若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、6、0、6，5分此时甲、乙、丁三支球队积分相同，要抽签决定排名，甲抽中前两名的概率为，所以这种
12、情况下，甲出线的概率为；6分（ii）若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为6、3、3、6，7分此时甲一定出线，甲出线的概率为；8分（iii）若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙.则甲、乙、丙、丁积分变为3、3、3、9，9分此时甲、乙、丙三支球队要抽签决定排名，甲抽到第二名的概率为，所以这种情况下，甲出线的概率为.10分综上，甲出线的概率为.12分21.（本小题满分12分）解：（1）首先函数的定义域为，当时，则.1分由，得，2分所以当时，；当时，.3分故的增区间为和，减区间为.4分（2），由，得，5分所以当时，：当时，.因此在和上单调递增，在上单调递减.6分因为当时，有.所以在上
13、不存在零点.8分在上，由单调性知：，分以下三种悄况讨论：（i）若，在，即在上不存在零点；9分（ii）若，有，此时在有唯一零点；10分（iii）若，有，而，则在与上各有一个零点.11分综上：（i）当时，在止不存在零点；（ii）当时，在上存在一个零点；（iii）当时，在上存在两个零点.12分22.（本小题满分12分）（1）解：设动圆的半径为，由题意，得：，1分则.2分所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.3分因此轨迹方程为.4分（2）（i）证法一：设，.由题可知，则，5分而，于是，6分所以，7分又，则，因此为定值.8分证法二：设，.由题可知，则直线的方程为，.由，得，5分所以，即，则.6分
14、所以.7分故为定值.8分证法三：设，.由题可知，财.由，得（），5分所以，即，6分故，又，7分所以为定值.8分解：（ii）法一：设直线的方程为，.由，得，9分所以.10分由（i）可知，即，化简得：，解得或（舍去），11分所以真线的方程为，因此直线经过定点.12分法二：设，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，所以9分由（i）已知，即：化简得：，解得或（舍去）.10分所以直线的方程为，故直线经过定点.11分当线的斜率不存在时，则.由（i）知，即：.又，所以，解得.所以直线的方程为，故直线经过定点.综上，直线经过定点.12分法三：设，.由题可知，则直线的方程为.由，得，所以，即，则，所以，同理，得.10分当，即时，直线的方程为，此时直线经过定点.11分当，即时，直线的方程为，即，此时直线经过定点.综上，直线经过定点.12分