1、第十节 圆锥曲线的综合问题教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题、定点定值问题题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.基础梳理1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0直线与圆锥曲线；0直线与圆锥曲线；b0)的离心率为12，其左焦点到点P(
2、2,1)的距离为10.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解析(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为 10，所以2c21 10，解得c1.又eca12，解得a2，所以b2a2c23.所以所求椭圆C的方程为x24y231.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 ykxm，x24y231，消去y得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化为34k2m2.所以x1x28mk34k2，x1x24m2334k
3、2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23m24k234k2.因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kADkBD1，所以y1x12 y2x22 1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以3m24k234k24m2334k2 16mk34k240.化为7m216mk4k20，解得m12k，m22k7.且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m2k7 时，l：ykx27，直线过定点27，0.综上可知，直线l过定点27，0.名师点拨 圆锥曲线中定点问题的两种解法1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变
4、化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点2特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关跟踪训练(2017长沙联考)已知椭圆 x2a2 y2b2 1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足PM 1MQ，PN2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.椭圆的方程为x23y21.(2)证明：由题意设P(0，m)，
5、Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由PM 1MQ 知(x1，y1m)1(x0 x1，y1)，y1my11，由题意y10，1my11.同理由PN2NQ 知2my21.123，y1y2m(y1y2)0，联立x23y23，xtym，得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y22mt2t23，y1y2t2m23t23，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mtb0)的离心率为 22，点(2，2)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中
6、点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解析(1)由题意有 a2b2a 22，4a2 2b21，解得a28，b24.所以C的方程为x28y241.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入x28y241，得(2k21)x24kbx2b280.故xMx1x22 2kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直线OM的斜率kOMyMxM 12k，即kOMk12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值名师点拨 圆锥曲线中定值问题的解法1从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关2引进变量法：其解题流程为跟踪训练
7、 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点F1(1,0)，长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：1|AB|1|CD|为定值解析：(1)由已知得2a2b2 3，c1，a2b2c2.解得a2，b 3.故所求椭圆方程为x24y231.(2)证明：由已知F1(1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为yk(x1)(k0)由ykx1，x24y231，得(34k2)x28k2x4k2120.由于0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，|AB|1k2x1x
8、224x1x21k2 8k234k2 244k21234k2121k234k2.同理|CD|121k23k24.所以 1|AB|1|CD|34k2121k2 3k24121k2 71k2121k2 712.当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|3，|CD|4；或|AB|4，|CD|3，1|AB|1|CD|1314 712.综上，1|AB|1|CD|为定值 712.考点三|圆锥曲线中的范围(最值)问题(方法突破)【例3】已知椭圆E：x2a2 y2b21(ab0)，其焦点为F1，F2，离心率为22，直线l：x2y20与x轴，y轴分别交于点A，B.(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若
9、线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，求a的取值范围解析(1)由椭圆的离心率e 22，得a 2c，直线l与x轴交于A点，A(2,0)，a2，c 2，b 2，椭圆方程为x24y221.(2)由e 22，可设椭圆方程为x2a22y2a2 1，联立x2a22y2a2 1，x2y20，得6y28y4a20.若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y28y4a20在y0,1上有解设f(y)6y28y4a2，0，f00，即a243，4a20，43a24，故a的取值范围是2 33 a2.名师点拨 圆锥曲线中常见的最值问题1涉及距离、面积的最值以及与之相
10、关的一些问题；2求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题跟踪训练(1)过抛物线y24x的焦点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B点和C，D点，直线AB的倾斜角为锐角，且|AB|20.求四边形ACBD的面积；设直线l过点(4,3)且与直线AB平行，求抛物线上的点到直线l的最小距离解析：由题知抛物线y24x的焦点为F(1,0)，设直线AB的斜率为k(k0)，则直线AB的方程为yk(x1)，代入抛物线方程，得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22k24k2，即|AB|x1x2220，2k24k21
11、8，解得k214.因为k0，所以k12，直线AB的方程为x2y10.直线CD的斜率为2，直线CD的方程为y2(x1)，同理，|CD|22242225，因为ABCD，所以四边形ACBD的面积为 12|AB|CD|1220550.由题意知直线l的方程为y312(x4)，即x2y100，设直线l：x2ym0与抛物线相切，代入抛物线方程，得y28y4m0，由6416m0，得m4，即直线l：x2y40与抛物线相切，由平行线间的距离得l与l间的距离为|104|12226 55，即抛物线上的点到直线l的最小距离为6 55.(2)已知椭圆：x2a2 y2b2 1(ab0)与双曲线E：x2y21有共同的焦点，且
12、双曲线E的一条渐近线被椭圆截得的线段长为 6.求椭圆的方程；设B为椭圆的上顶点，e为椭圆的离心率，直线l与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点B)，且BP，BQ的斜率之积等于e2，求直线l的斜率的取值范围答案：x23y21，2 632 63，考点四 圆锥曲线中的探索问题(方法突破)【例4】已知椭圆C：x2a2 y2b2 1(ab0)的离心率为22，点P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q坐标
13、；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得b1，ca 22，a2b2c2.解得a22.故椭圆C的方程为x22y21.设M(xM,0)因为m0，所以1n1.直线PA的方程为y1n1m x，所以xM m1n，即Mm1n，0.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，n)设N(xN,0)，则xN m1n.“存在点Q(0，yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)使得|OM|OQ|OQ|ON|”，即yQ满足y2Q|xM|xN|.因为xM m1n，xN m1n，m22 n21，所以y2Q|xM|xN|m21n22.所以 yQ 2或yQ 2.故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ，点Q的坐标为(
14、0，2)或(0，2)名师点拨 1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化一般步骤为：(1)假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出；(2)列出关于待定系数的方程(组)；(3)若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法跟踪训练 已知椭圆C：x2a2y2b21与双曲线 x24v y21v1(1v4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y22x于P，Q两点，且OPOQ.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两
15、点M，N，且OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的OMN的面积；若不存在，请说明理由解析：(1)因为1v4，所以双曲线的焦点在x轴上，设F(c,0)，则c24vv13，由椭圆C与双曲线共焦点，知a2b23，设直线l的方程为xtya，代入y22x，可得y22ty2a0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y22t，y1y22a，因为OPOQ，所以x1x2y1y2a22a0，所以a2，b1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)在MON中，SOMN12|OM|ON|sinMON12sinMON，当MON90时，sinMON有最大值，即SOMN有最大值12，此时点O到直线l的距离为d1m2n2 22，所以m2n22.又因为m24n24，联立m2n22，m24n24，解得m243，n223，此时点R的坐标为2 33，63 或2 33，63，MON的面积为12.