1、第十节 变化率与导数、导数的计算教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(如f(axb)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.基础梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处导数的定义称函数yf(x)在xx0处的瞬
2、时变化率_limx0yx为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)limx0yx_.limx0fx0 xfx0 xlimx0fx0 xfx0 x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的_(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为_(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)_为f(x)的导函数切线的斜率yy0f(x0)(xx0)limx0fxxfxx2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)f(x)x(Q*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x
3、)cos xf(x)_0 x1cos xsin xf(x)ax(a0，且a1)f(x)_f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，且a1)f(x)_f(x)ln xf(x)_axln aex1xln a1x3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)(3)fxgx(g(x)0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx24复合函数的导数复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.三基自测1(选修22习题1.2A组改编)已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()Ae2 BeC.ln 22Dln
4、2答案：B2(选修221.2例题改编)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为答案：2xy103(选修22习题1.2B组改编)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a.答案：124(选修22习题1.2A组改编)函数ysin(2x5)的导数y为答案：2cos(2x5)5(选修22习题1.2A组改编)函数y2ex的导数y为答案：2ex考点一|导数的运算(易错突破)【例1】(1)(2018重庆期末)若函数yf(x)对任意实数x有f(x)cos x，且f(0)1，则f(x)()Asin x Bsin x1Csin(x1)Dcos x(2)若函数f(x)ln xf(1)x23x4，
5、则f(1).解析(1)根据题意，若函数yf(x)对任意实数x有f(x)cos x，则f(x)sin xc，又由f(0)1，则有f(0)0c1，解可得c1，则f(x)sin x1.(2)f(x)1x2f(1)x3，f(1)12f(1)3，解得f(1)2，f(1)1438.答案(1)B(2)8名师点拨 导数计算的技巧1求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，减少运算量2复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元跟踪训练(1)已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0 B1C.12D2答案：C(2)(2018邵阳三模)已知函数f(x)f(2)exx2，
6、则f(2)()A.e2e21B4e21e2C.e214e2D 4e2e21解析：f(x)f(2)ex2x，f(2)f(2)e22(2)解得f(2)4e2e21.故选D.答案：D考点二|导数的几何意义(思维突破)【例2】(1)已知函数f(x)在R上满足f(2x)2x27x6，则曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3(2)若曲线yax2(a0)与曲线yln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则a()A.eB 12 eCe D 12e解析(1)法一 令x1得f(1)1，令2xt，可得x2t，代入f(2x)2x27x6得f(t)2(2t)27
7、(2t)6，化简整理得f(t)2t2t，即f(x)2x2x，f(x)4x1，f(1)3.所求切线方程为y13(x1)，即y3x2.法二 令x1得f(1)1，由f(2x)2x27x6，两边求导可得f(2x)(2x)4x7，令x1可得f(1)3，即f(1)3.所求切线方程为y13(x1)，即y3x2.(2)由题意可知2as1s，又tas2ln s，解得a 12e.答案(1)C(2)D名师点拨 1.求切线方程，首先注意切点斜率是否存在2在点P(x0，f(x0)处求切线方程，P为切点，其斜率kf(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)即解方程f(x1
8、)k.4过点M(x1，y1)求切线方程，无论M是否在函数yf(x)上都不能视为切点，需重新设切点(x0，f(x0)，求切点5函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢跟踪训练(1)在本例(1)中，若f(x)2x27x6，那么在(1，f(1)处的切线方程怎样？解析：f(x)2x27x6，f(x)4x7.f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率kf(1)473.而f(1)2761，故切线方程为y13(x1)，即3xy40.(2)在本例(1)中，过点1，18 作f(x)的切线可作几条切线？切线方程怎样？解析：由本题可知f(x)2x2x，f(x)4x1，设切点P(x0，y0)，k4x01.切线方程为yy0(4x01)(xx0)过点1，18，18(2x20 x0)(4x01)(1x0)，16x2032x070，x014或x074，当切点为14，18 时，其切线方程为y18，当切点为74，358 时，其切线方程为y358 6x74，即48x8y490.有两条切线，分别为y18和48x8y490.