1、十七圆的一般方程(15分钟30分)1若圆的方程为0，则圆心坐标为()A BC D【解析】选D.圆的方程可化为(y1)2，所以圆心坐标为.2圆x2y22x8y130截直线axy10所得的弦长为2，则a()A BC D2【解析】选A.圆的方程可化为224，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：d1，解得a.3已知点P(2，1)在圆C：x2y2ax2yb0上，点P关于直线xy10的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为_，半径为_【解析】点P关于直线xy10的对称点为P，将P和P的坐标代入圆C的方程的方程组解得所以圆的方程为x2y22y30，即x224，所以圆心的坐标为，半径为2.答案：24长度为6
2、的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为_【解析】设M(x，y)，因为AOB是直角三角形，所以|OM|AB|3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2y29即为所求答案：x2y295已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(1，1)，B(1，0)，C(2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程【解析】因为5，2，所以0得(2)26245a0，解得a2，圆关于直线yx2b对称可知圆心(1，3)在直线yx2b上，所以312b，得b2，故ab4.4圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是()A2 B1
3、C1 D22【解析】选B.本题考查点到直线的距离由x2y22x2y10，得(x1)2(y1)21，表示以M(1，1)为圆心，以r1为半径的圆先计算点M到直线xy2的距离d，圆上的点到直线的距离的最大值为点M到直线的距离xy2再加半径，即dmaxdr1.【误区警示】涉及与圆有关的最值问题一般转到圆心上去圆上的点直线距离的最大值为圆心到直线的距离再加上半径二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知圆C经过点(1，0)，且圆心C是两直线x1与xy2的交点，则下列点在圆内的有()A(0，0) B C(3，1) D(1，1)【解析】选BD.由得即所求圆的
4、圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，圆的方程为(x1)2(y1)21.将选项中4个点代入，可得只有BD满足小于1，即BD选项中的点在圆内6如果圆(xa)2(ya)28上总存在到原点的距离为的点，则实数a的值可以是()A2 B0 C1 D3【解析】选ACD.圆(xa)2(ya)28的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r2，由圆(xa)2(ya)28上总存在点到原点的距离为，得2|a|2，所以1|a|3，解得1a3或3a1.三、填空题(每小题5分，共10分)7已知圆C：x2y22x2y30，AB为圆C的一条直径，点A的坐标为，则点B的坐标为_【解题指南】圆心为直径的中
5、点，可以先求出圆心坐标，再求点B的坐标【解析】由x2y22x2y30得(x1)2(y1)25，所以圆心C的坐标为，设B的坐标为(x0，y0)，又A的坐标为(0，1)，由中点坐标公式得解得所以B点的坐标为.答案：(2，3)【补偿训练】 在平面直角坐标系内，若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_【解析】圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a，2a)，半径r2，故由题意知解得a2，故实数a的取值范围为(，2).答案：(，2)8已知圆x2y2kx2yk2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为_【解析】由x2y2kx2yk2，得k21.所
6、以当k20，即k0时圆的面积最大，此时圆心坐标为.答案：(0，1)四、解答题(每小题10分，共20分)9自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，求点P的轨迹方程【解析】由题意得，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，如图因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8y210.10已知圆C的方程为x2(y4)21，直线l的方程为2xy0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，求点P的坐标；(2
7、)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标【解析】(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|2，设P(a，2a)，则2，解得a2或a，所以点P的坐标为(2，4)或.(2)设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(xb)(y4)(y2b)0，整理得x2y2bx4y2by8b0，即(x2y24y)b(x2y8)0.由解得或所以该圆必经过定点(0，4)和.【创新迁移】已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当时，求l的方程及POM的面积【解析】(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4，设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)，由题设知0，即x(2x)(y4)(2y)0，(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故直线l的方程为yx.又2，O到l的距离为，所以，SPOM，所以POM的面积为.