1、复习课(三)数系的扩充与复数的引入复数的概念 (1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念1复数是实数的充要条件(1)zabi(a，bR)Rb0.(2)zRz.(3)zRz20.2复数是纯虚数的充要条件(1)zabi(a，bR)是纯虚数a0，且b0.(2)z是纯虚数z0(z0)(3)z是纯虚数z20.3复数相等的充要条件abicdi(a，b，c，dR)典例实数k分别为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.解(1i)k2
2、(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60，即k6或k1时，该复数为实数(2)当k25k60，即k6且k1时，该复数为虚数(3)当即k4时，该复数为纯虚数(4)当即k1时，该复数为0.类题通法处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是abi(a，bR)的形式时，要通过变形化为abi的形式，以便确定其实部和虚部(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根1若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2的虚部为()A0B1C1 D2解析：选A因为z1i，所以1i，所以z22(1i)2(1i)22i(2i)0.故选A.2复数zlog3(x
3、23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数解：(1)一个复数是实数的充要条件是虚部为0，由，得x4，经验证满足式当x4时，zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，解得即x4或x4时，z为虚数(3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，解得方程组无解复数z不可能是纯虚数.复数加、减法的几何意义(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题1复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为
4、(a，b)，而不是(a，bi)；(2)复数zabi(a，bR)的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|；(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离典例(1)若复数(ai)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A1 B1C D.(2)复数z(mR，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析(1)因为(ai)2a212ai，又复数(ai)2的对应点在y轴负半轴上，所以即a1.(2)z(m4)2(m1)i，其实部为(
5、m4)，虚部为(m1)，由得此时无解故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限答案(1)A(2)A类题通法在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即zabi(a，bR)确定有序实数对(a，b)(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)1(全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1 B.C. D2解析：选B(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，y1.|xyi|1i|，故选B.2若复数(6k2)(k24)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是_解析：由已知得4k26.k2或2k.答案：(，2)(2，)3已知复数z123i，z
6、2abi，z314i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若OC2OAOB，则a_，b_.解析：OC2OAOB14i2(23i)(abi)即答案：310复数的代数运算(1)复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主(2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解复数运算中常见的结论(1)(1i)22i，i，i.(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i；(4)i4ni4n1i4n2i4n30.典例(1)设复数z满足i，则|z|()
7、A1B.C. D2(2)(全国卷)若z12i，则()A1 B1Ci Di解析(1)由i，得zi，所以|z|i|1，故选A.(2)因为z12i，则12i，所以z (12i)(12i)5，则i.故选C.答案(1)A(2)C类题通法进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与
8、(ab)(ab)a2b2.(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化1复数z满足z(1)1i，其中i是虚数单位，则z( )A1i或2i Bi或1iCi或1i D1i或2i解析：选C设zabi(a，bR)，由z(1)1i得a2b2abi1i，所以b1，a2a11，所以a0或a1.故zi或z1i.2i是虚数单位，2 0166_.解析：原式1 00861 008i6i1008i6i4252i42i4i20.答案：01若i为虚数单位，则复数z5i(34i)在复平面内对应的点所在
9、的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Az5i(34i)2015i，则复数对应的点在第一象限2(山东高考)已知a，bR，i是虚数单位若ai2bi ，则 (abi)2()A34iB34iC43i D43i解析：选A由ai2bi可得a2，b1，则(abi)2(2i)234i.3已知z是纯虚数，是实数，则z()A2i BiCi D2i解析：选D因为z是纯虚数，则令zbi(bR，b0)，所以.又是实数，则b20，b2，所以z2i，故选D.4(山东高考)若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z()A12iB12iC12i D12i解析：选B法一：设zabi(a，bR)，则2
10、z2a2biabi3abi32i.由复数相等的定义，得3a3，b2，解得a1，b2，z12i.法二：由已知条件2z32i，得2z32i，解组成的关于z，的方程组，得z12i.故选B.5(全国卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，) D(，3)解析：选A由题意知即3m1.故实数m的取值范围为(3,1)6设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20解析：选C设zabi(a，bR)，选项A，z2(abi)2a2b22abi0，则故b0或a，b
11、都为0，即z为实数，正确选项B，z2(abi)2a2b22abi0，则则故z一定为虚数，正确选项C，若z为虚数，则b0，z2(abi)2a2b22abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误选项D，若z为纯虚数，则则z2b22时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)f(1)Cf(1)f(1). 8若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：选B由2xln xx2ax3，得a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(1，
12、)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，4二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中横线上)9用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为_答案：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数10设f(x)xln x，则f(1)_，若f(x0)2，则x0的值为_解析：由f(x)xln x，得f(x)ln x1，f(1)1；根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.答案：1e11已知z1i，则|z|_，_.解析：|z|，2i.答案：2i12若f
13、(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为_，单调递减区间为_解析：f(x)2x20，即0.x0，(x2)(x1)0.x2.由f(x)0，解得(0,2)答案：(2，)(0,2)13某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍
14、去)则p，y，y变化关系如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元答案：3023 00014用数学归纳法证明“1n(nN*，n1)”时，由nk(kN*，k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_解析：令f(n)1，f(k1)1，因此应增加的项为，共2k项答案：2k15函数yln x(x0)的图象与直线yxa相切，则a_.解析：y(ln x)(x0)，又yln x的图象与直线yxa相切，x2，因此，
15、切点P(2，ln 2)在直线yxa上，ln 21a，aln 21.答案：ln 21三、解答题(本大题共5小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知abc，求证：.证明：已知abc，因为2224，所以4，即.17(本小题满分15分)设函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21.令f(x)
16、0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在(，1m)，(1m，)内是减函数，在(1m,1m)内是增函数函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2.18(本小题满分15分)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所
17、以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此a的取值范围是(0,1)19(本小题满分15分)已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明解：(1)a1S11，所以a11.又因为an0，所以a11.S2a1a21，所以a2.S3a1a2a31，所以a3.(2)由(1)猜想a
18、n，nN*.下面用数学归纳法加以证明：当n1时，由(1)知a11成立假设nk(kN*)时，ak成立当nk1时，ak1Sk1Sk，所以a2ak120，所以ak1，即当nk1时猜想也成立综上可知，猜想对一切nN*都成立20(本小题满分15分)已知函数f(x)ex2x23x.(1)求证：函数f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点(2)当x时，若关于x的不等式f(x)x2(a3)x1恒成立，试求实数a的取值范围解：(1)证明：f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0，f(x)在区间0,1上单调递增，f(x)在区间0,1上存在唯一零点，f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)由f(x)x2(a3)x1，得ex2x23xx2(a3)x1，即axexx21，x，a.令g(x)，则g(x).令(x)ex(x1)x21，则(x)x(ex1)x，(x)0.(x)在上单调递增(x)0.因此g(x)0，故g(x)在上单调递增，则g(x)g2，a的取值范围是.