1、课时跟踪检测（十五） 空间向量的正交分解及其坐标表示层级一学业水平达标1已知A(3,2，3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是()A(3，2,3)B(3,2，3)C(3,2,3) D(3，2，3)解析：选C由对称定义知2设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此p/ q，qp.3在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A向量的坐标与点B的坐标相同B向量的坐标与
2、点A的坐标相同C向量与向量的坐标相同D向量与向量的坐标相同解析：选D因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；由于，所以D正确4已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于()A. B.( )C.( ) D. 解析：选B如图，()()()5空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且2，N为BC中点，则为()A.abc BabcC.abc D.abc解析：选B()abc.6设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_解析：由于e1，e2，e3是空
3、间向量的一个单位正交基底，所以a(4，8,3)，b(2，3,7)答案：a(4，8,3)，b(2，3,7)7已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxayb2c，若m与n共线，则x_，y_.解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxayb2c，于是有解得答案：228在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，即0，.答案：9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若
4、xaybzc，求实数x，y，z的值解：(1)如图，abc，()()(ac)(2) ()()(cabc)abc，x，y，z1.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EFAB1.证明：设a，b，c，则()()()(abc)，ab.(abc)(ab)(|b|2|a|2)0.，即EFAB1.层级二应试能力达标1已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间的一个基底的关系是()ABCD2解析：选C对于选项A，由x y z (xyz1)M，A，B，C四点共面，知，共面；对于选项B，D，易知，共面，故选C.2给出下列命题：若a，b，c可以
5、作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可以作为空间的一个基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；已知a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析：选D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底显然正确中由，不能构成空间的一个基底，知，共面又，过相同点B，知A，B，M，N四点共面下面证明正确：假设d与a，b共面，则存在实数，使得dab，d与c共线，c0，存在实数k，使得dkc.d0，k0
6、，从而cab，c与a，b共面，与条件矛盾，d与a，b不共面同理可证也是正确的于是四个命题都正确，故选D.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则向量在基底i，j，k下的坐标是()A(1,1,1) B.C(3,2,5) D(3,2，5)解析：选C3i2j5k，向量在基底i，j，k下的坐标是(3,2,5)，故选C.4已知向量和在基底a，b，c下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若，则向量在基底a，b，c下的坐标是()A. B.C. D.解析：选A(2bc)(3a4b5c)3a2b4c，abc，向量在基底a，b，c下的坐标是，故选A.5若a，b，c是空间的一个基底，且存
7、在实数x，y，z，使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_解析：若x0，则abc，即a与b，c共面由a，b，c是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x0，同理yz0.答案：xyz06若ae1e2，be2e3，ce1e3，de12e23e3，若e1，e2，e3不共面，当d a b c时，_.解析：由已知d()e1()e2()e3.所以故有3.答案：37设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，且M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点求证：M，N，P，Q四点共面证明：依题意，有2 ，2 .()()(*)A，B，C及A1，B1，C1分别共线，存在，R，使得2，2.代入(*)式，得(22)，共面M，N，P，Q四点共面8已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若ABOC，求证：PMQN.证明：如图，取向量，为空间基底，则()，()()()，()()又，()，()，()()(|2|2)，又|，0，即PMQN.