1、第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一函数最大(小)值的求法1.(2020河南豫南九校高一上第一次联考)函数y=1x-1在2,3上的最小值为()A.2B.12C.13D.-122.(2020福建宁德部分一级达标中学高一上期中)函数y=x+3,x0的解集;(2)当x(0,+)时,求函数y=f(x)x的最大值,以及y取得最大值时x的值.8.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数R(x)=400x-12x2(0x400),80000(x400),其中x是仪器的月产
2、量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)题组三函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用9.若不等式-x+a+10对任意x0,12都成立,则实数a的最小值为()A.0B.-2C.-52D.-1210.已知函数f(x)=x2+ax+4,若对任意的x(0,2, f(x)6恒成立,则实数a的最大值为()A.-1B.1C.-2D.211.(2020湖南长沙第一中学高一上第二次阶段性检测)若不等式x2+|x-1|+a0在区间(-2,2)上恒成立,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)=x-1x+2,x3,5.(1
3、)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)若不等式f(x)a在3,5上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若不等式f(x)a在3,5上有解,求实数a的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2019湖北襄阳四中高一上月考,)函数y=1-x-3+x的最大值为M,最小值为N,则MN的值为()A.2B.1C.-1D.22.(2019山西高平一中高一上第一次月考,)函数f(x)=x+1x+2在区间-5,-3上的最小值为()A.13B.1C.43D.23.(2020辽宁盘锦高一月考,)某渔场鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际的养殖量x要小于m,留出适当的空闲量,已知鱼群的年增长量y(吨)和实际
4、养殖量x(吨)与空闲率(空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率)的乘积成正比(设比例系数k0),则鱼群年增长量的最大值为()A.mk2B.mk4C.m2D.m44.(2021湖南衡南第三中学高一月考,)已知函数f(x)=x2-2ax+8,x1,x+4x+a,x1,若f(x)的最小值为f(1),则实数a的值不可能是()A.1B.2C.3D.45.(2020山东淄博实验中学高一上期中,)对于实数x,符号x表示不超过x的最大整数,例如=3,-1.08=-2,定义函数f(x)=x-x,则下列命题中不正确的是()A.f(-3.9)=f(4.1)B.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)的最小值为0D.方程f
5、(x)-12=0有无数个根6.(2021海南临高二中高一月考,)函数f(x)=x+9x-a+a(aR)在区间1,9上的最大值为10,则实数a的最大值为()A.6B.8C.9D.10二、填空题7.(2020河北唐山一中高一上期中,)已知函数f(x)=2x+1-4-2x的定义域为D,当xD时, f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是.8.(2020辽宁六校协作体高一上期中,)设函数f(x)=x+1x,x12,3,则函数f(x)的最小值为;若存在x12,3,使得a2-af(x)成立,则实数a的取值范围是.9.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数f(x)=-x2+ax-a4在区间0,1上
6、的最大值是32,则实数a的值为.三、解答题10.(2020山东淄博实验中学高一上期中,)函数f(x)的定义域为(0,+),且对任意x0,y0都有fxy=f(x)-f(y),当x1时,有f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并加以证明;(3)若f(4)=2,求f(x)在1,16上的值域.11.(2020江苏如东高级中学高一上阶段性测试,)已知函数f(x)=1-1x,其中x0.(1)写出f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,b(0ab),使得函数f(x)的定义域和值域都是a,b?若存在,请求出a,b的值;若不存在,请说明理由;(3)若存在实数a,b(0a0),求实数m的范
7、围.答案全解全析第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值基础过关练1.B2.C3.B5.C6.D9.D10.A1.By=1x-1在2,3上单调递减,所以当x=3时取得最小值,为12.故选B.2.C当x1时,函数y=x+3单调递增,且y0时,函数y=ax+1在1,2上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a0,即-2x2+7x-30,解得12x0的解集为x12x0,可知当x0,62时,函数单调递减,当x62,+时,函数单调递增,所以当x=62时,y=2x+3x有最小值,为26,即y=7-2x+3x有最大值,为7-26.8.
8、解析(1)由题意可知,当月产量为x台时,总成本为(20 000+100x)元,从而f(x)=R(x)-(20 000+100x)=-12x2+300x-20000(0x400),60000-100x(x400).(2)由(1)可知,当0x400时, f(x)=-12(x-300)2+25 000,当x=300时, f(x)max=25 000;当x400时, f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)60 000-100400=20 0000恒成立,得a-x2-|x-1|恒成立,令f(x)=-x2-|x-1|=-x2-x+1,1x2,-x2+x-1,-2x1,f(x)在-2,12上单
9、调递增,在12,2上单调递减,f(x)max=f12=-122+12-1=-34,f(x)-34,a的取值范围是-34,+.12.解析(1)f(x)在3,5上为增函数.证明:任取x1,x23,5且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-1x1+2-x2-1x2+2=3(x1-x2)(x1+2)(x2+2).3x1x25,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)a在3,5上恒成立知, f(x)mina,由(1)知, f(x)在3,5上为增函数,所以f(x)min=f(3)=25,所以25a,即aa在3,5上有解知,f(x)maxa,由(1)知, f(x)在3,5上为增函数,所以f(
10、x)max=f(5)=47,所以47a,即a0,0x1时,y=x+4x+a,可知函数在(1,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以当x=2时,y=x+4x+a有最小值,为4+a;当x1时,y=x2-2ax+8,图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为直线x=a,设g(x)=x2-2ax+8,x1,则当a1时,g(a)为函数g(x)在(-,1上的最小值,不合题意;当a1时,g(1)为函数g(x)在(-,1上的最小值,且g(1)=9-2a.由题意可得9-2a4+a,解得a53.综上,实数a的取值范围为aa53.故选A.5.答案B信息提取x表示不超过x的最大整数;讨论函数f(x)=x-x的相关
11、性质.数学建模以x为情境,构建新函数,求函数值,讨论函数最值及方程的解.解析f(-3.9)=(-3.9)-3.9=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4.1=4.1-4=0.1,故A命题正确;显然x-1xx,因此0x-x1,f(x)无最大值,但有最小值,且最小值为0,故B命题错误,C命题正确;方程f(x)-12=0的解为x=k+12(kZ),故D命题正确.故选B.6.B令t=x+9x,x1,9,则函数t=x+9x在1,3)上单调递减,在3,9上单调递增,所以当x=3时,tmin=6,当x=1或x=9时,tmax=10,所以t6,10,所以y=|t-a|+a在t6,10上的最大值为
12、10,当a10时,y=|t-a|+a=a-t+a=2a-t,所以ymax=2a-6=10,解得a=8,不合题意,舍去;当a6时,y=|t-a|+a=t-a+a=t,t6,10,ymax=10,满足题意;当6a8时,ymax=|10-a|+a=10,满足题意;当8a10时,ymax=|6-a|+a=a-6+a=2a-6,所以令2a-6=10,解得a=8,满足题意.综上所述,实数a的取值范围是a8,故实数a的最大值为8.故选B.二、填空题7.答案5,+)解析函数f(x)=2x+1-4-2x的定义域为(-,2,令t=4-2x,得2x=4-t2(t0),所以y=5-t2-t(t0),其图象开口向下,对
13、称轴为直线t=-12.因为t0,所以y5,又当xD时, f(x)m恒成立,所以实数m的取值范围是m5.8.答案2;(-,-12,+)解析易知函数f(x)=x+1x,x12,3在12,1上为减函数,在(1,3上为增函数,所以f(x)min=f(1)=1+1=2,即函数f(x)的最小值为2.因为存在x12,3,使得a2-af(x)成立,所以a2-af(x)min,即a2-a2,解得a2或a-1,故实数a的取值范围是(-,-12,+).9.答案-6或103解析f(x)=-x-a22+14(a2-a),其图象的对称轴为直线x=a2,当0a21,即0a2时, f(x)max=14(a2-a),令14(a
14、2-a)=32,得a=-2或a=3,与0a2矛盾,不符合要求;当a20,即a1,即a2时, f(x)在0,1上单调递增, f(x)max=f(1),令f(1)=32,得-1+a-a4=32,解得a=103.综上所述,a=-6或a=103.三、解答题10.解析(1)对任意x0,y0都有fxy=f(x)-f(y),令x=y=1,则f(1)=f(1)-f(1)=0.(2)f(x)在(0,+)上单调递增.证明:任取x1,x2(0,+),且x1x10,x2x11,fx2x10,f(x2)f(x1),故f(x)在(0,+)上是增函数.(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函数,f(x)min=f(1)=
15、0,f(x)max=f(16),由fxy=f(x)-f(y),知f164=f(16)-f(4),f(4)=2,f(16)=2f(4)=4,f(x)在1,16上的值域为0,4.11.解析(1)依题意得f(x)=1-1x,x1,1x-1,0x1.易知函数在(0,1)上单调递减,在1,+)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为1,+),单调递减区间为(0,1).(2)不存在实数a,b(0ab)满足条件.理由如下:假设存在满足条件的a,b.若a,b(0,1),则f(x)=1x-1在(0,1)上递减,且f(a)=1a-1,f(b)=1b-1,f(a)=b,f(b)=a,即1a-1=b,1b-1=aa=b,不符合题意.若a,b1,+),则f(x)=1-1x在1,+)上递增,f(a)=a,f(b)=b1-1a=a,1-1b=b,无实数解,不符合题意.当a(0,1),b1,+)时,显然1a,b,而f(1)=0,0a,b,不符合题意.综上,不存在实数a,b(0a0,m-1+10,12m10m14.故实数m的取值范围是0,14.
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