1、 A基础达标1观察数列1，5，14，30，x，则x的值为()A22B33C44 D55解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即anan1n2，所以x305255.2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：选C.从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.3观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是()
2、An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，故第n个式子中有2n1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n1的平方，故可以得到n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.4根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112
3、34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113解析：选B.由19211；1293111；123941 111；1 2349511 111；归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同所以123 456971 111 111.5古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图(1)中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1 024C1 225 D1 378解
4、析：选C.设图(1)中数列1，3，6，10，的通项为an，则a11，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12n(n2)当n1时，有a11，所以an.图(2)中数列1，4，9，16，的通项为：bnn2.故所给四个选项中只有1 225满足a49b353521 225.故选C.6观察下列各式：918，16412，25916，361620，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为_解析：由已知四个式子可分析规律(n2)2n24n4.答案：(n2)2n24n47观察下列等式：132332，13233362，13
5、233343102，根据上述规律，第五个等式为_解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：123，1236，123410，即左边底数的和等于右边的底数故第五个等式为：132333435363(123456)2212.答案：1323334353632128设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)_解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又
6、函数结果的分母中常数项依次为2，4，8，16，故其通项公式为bn2n.所以当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x).答案：9已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an.解：因为Snn2an(n2)，a11，所以S24a2a1a2，a2.S39a3a1a2a3，a3.S416a4a1a2a3a4，a4.所以猜想an.10已知数列an的前n项和为Sn，a1且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解：n2时，anSnSn1，所以Sn2SnSn1，所以Sn120.当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2
7、，所以S3；当n4时，2S3，所以S4.猜想：Sn(nN)B能力提升11将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931A809 B853C785 D893解析：选A.前20行共有正奇数13539202400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.12将全体正整数排成一个三角形数阵(如图)：按照以上排列的规律，第n(n3，nN*)行从左向右的第3个数为_解析：前(n1)行共有正整数12(n1)(个)，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.答案：13观察下列等式1123493
8、4567254567891049照此规律，求第五个等式解：由于112，234932，345672552，456789104972，所以第五个等式为56789101112139281.14(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248 sin(18)cos 48；sin2(25)cos255 sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，
9、将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：(1)同法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.