1、第五节 数学归纳法教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列或不等式有关的试题在高考中常以解答题形式出现，属高档题.基础梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对都成立，上述证明方法叫作数学归纳法第一个值n0nk1 从n0开始的所有正整数n三基自测1(选修22习题2.3B组
2、改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n3)条时，第一步检验n等于()A1 B2C3 D4答案：C2(选修22习题2.3A组改编)用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时，应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11答案：D3(选修222.3练习改编)用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为()A1 B12C1222D122223答案：D4(选修222.3练习改编)已知f(n)1n 1n1 1n2 1n2
3、，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)1213Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)121314Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)1213Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)121314答案：D考点一|用数学归纳法证明等式(易错突破)【例1】求证112131412n1 12n 1n1 1n2 12n(nN*)证明(1)当n1时，左边11212，右边 11112，左边右边(2)假设nk时等式成立，即112131412k1 12k 1k1 1k212k，则当nk1时，112131412k1 12k 12k112k2 1k1 1k212k 12k112k2 1k2
4、1k312k112k2.即当nk1时，等式也成立综合(1)(2)可知，对一切nN*，等式成立名师点拨 1.用数学归纳法证明等式问题时，要先看项，清楚等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少2由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程跟踪训练(2018南开区期末)用数学归纳法证明：2213 42352n22n12n12n22n2n1(nN*)解析：(1)当n1时，左边43右边，等式成立(2)假设当nk时等式成立，即 2213 42352k22k12k12k22k2k1.当nk1时，左边
5、 2213 42352k22k12k12k222k12k32k22k2k12k222k12k3 2k22k2k32k222k12k3 2k12k1k22k12k32k1k22k32k122k12k11，当nk1时，等式也成立综合(1)(2)，等式对所有正整数都成立考点二|用数学归纳法证明不等式(思维突破)【例2】已知数列an，an0，a10，a 2n1 an11a 2n.求证：当nN*时，anan1.证明(1)当n1时，因为a2是方程a 22 a210的正根，所以a2512，即a1a2成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，0ak0，又ak1ak0，所以ak2ak110，所以ak1ak2，即当
6、nk1时，anan1也成立综上可知an2)，对一切nN*，an0，an1a2n2an1，试证明an2.证明：(1)由题意可知n1，a1a2，结论成立(2)假设nk时结论成立，即ak2，那么当nk1时，ak12a2k2ak12ak222ak10，即ak12，故nk1时，命题成立综上可知，nN*，an2.考点三|归纳、猜想与证明(规范突破)【例3】(2018安顺期末)现有一道有关用数学归纳法证明恒等式的证明题：“用数学归纳法证明：1121231nn1nn1(nN)”某同学给出了如下证明：证：当n1时，左端 11212，右端 11112，等式成立假设nk(kN)时等式成立，即 112 1231kk1
7、 kk1，则当nk1时有 112 1231kk11k1k211212131k 1k1 1k1 1k2k1k11，即当nk1时等式也成立故等式对任意nN均成立(1)请指出这名同学证明过程中的错误；(2)请给出该题正确的证明(用数学归纳法证明)解析(1)当nk1时，有 112 1231kk11k1k211212131k 1k1 1k1 1k2k1k11，此步错误，没有用上假设(2)证明：当n1时，左端 11212，右端 11112，等式成立假设nk(kN)时等式成立，即 112 1231kk1 kk1，则当nk1时，有112 123 1kk1 1k1k2 1k1 1k1k2 k22k1k1k2k1
8、2k1k2k1k2 k1k11，即当nk1时等式也成立由可得等式对任意nN均成立名师点拨 解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：1归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难2证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法3不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题跟踪训练(2018桂林期末)在数列an中，已知a112，an1 nn2an(nN*)(1)求a2，a3，a4；(2)猜测an的通项公式，并用数学归纳法证明解析：(1)a112，an1 nn2an(nN*)，a2 112a116，a3 222a2 112，a4 332a3 120.(2)猜想an1nn1，证明如下：当n1时，a112，猜想成立假设当nk时，等式成立，即ak1kk1，那么当nk1时，即ak1 kk21kk11k1k21k1k11，等式成立由可得an1nn1对任意nN*都成立