1、第一节 数列的概念与简单表示法教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中主要以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.基础梳理1数列的有关概念概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的数列的通项 数列an的第n项an一定顺序每一个数通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式表示，这个公式叫作数列的通项公式前n项和数列an中，Sn叫作数列的前n项和anf(n)a1a2an2.数列的表示方法3.a
2、n与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an，n1，n2.S1SnSn14数列的分类三基自测1(必修52.1例3改编)在数列an中，a11，an1 1an1(n2)，则a4()A.32 B53C.74D85答案：B2(必修52.1教材引例改编)把3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)则第6个三角形数是()A27 B28C29 D30答案：B3(必修52.1练习改编)数列1，23，35，47，59，的一个通项公式an是答案：n2n14(必修5习题2.1A组改编)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出一个数列的通项公式()，4，9，
3、()，25，()，49，an.答案：1 16 36(1)nn2考点一|已知数列的前几项写通项公式(思维突破)【例1】(1)下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1 Ban1n12Can2sin n2Dan1n132(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1,7，13,19，；0.8,0.88,0.888，；12，14，58，1316，2932，6164，；32，1，710，917，；9,99,999,999 9，.解析(1)由an2sin n2 可得a11，a22，a31，a42，.故选C.(2)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝
4、对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an891 110n.各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为232，原数列可化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.将数列统一为32，55，710，917，对于分子3,5,7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1；对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，因此可得它
5、的一个通项公式为an2n1n21.这个数列的前4项可以写成101,1001,1 0001,10 0001，所以它的一个通项公式an10n1.答案(1)C名师点拨 1此类题目利用由特殊到一般的归纳推理即观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求2抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征，如奇数，偶数；(2)相邻项的变化特征，增加多少，减少多少，几倍关系，平方关系等；(3)拆项后的特征，、分数等；(4)各项符号特征，符号(1)n或(1)n1.跟踪训练(1)(2018金安区校级期末)已知nN*，给出4个表达式：an0，n为
6、奇数，1，n为偶数，an11n2，an1cos n2，an sinn2，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()ABCD答案：A(2)根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：4,6,8,10，；112，123，134，145，；a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)；3,33,333,3 333，.解析：各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an2(n1)(nN)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n1nn1.这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式ana，
7、n为奇数，b，n为偶数.各项写为13(101)，13(1021)，13(1031)，13(1041)，故an13(10n1)考点二|已知递推关系求通项公式(方法突破)方法1 用累加法求数列的通项公式【例2】在数列an中，a12，an1an3n2，则an.解析 因为an1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 n3n12(n2)当n1时，a12 12(311)，符合上式，所以an32n2n2.答案 32n2n2方法2 用累乘法求数列的通项公式【例3】已知数列an中，a11，(n1)annan1，则数列an的通项公式an.解析 由(n1)a
8、nnan1，可得an1an n1n.当n2时，anan1 nn1，an1an2n1n2，a3a232，a2a12.将以上各式累乘求得ana1n，ann，而n1也适合数列的通项公式为ann.答案 n方法3 用转化法求数列的通项公式【例4】在数列an中a11，an13an2.则an.解析 因为an13an2，所以an113(an1)，所以 an11an13，所以数列an1为等比数列，公比q3.又a112，所以an123n1，所以an23n11.答案 23n11名师点拨 典型的递推数列及处理方法递推式方法转化过程an1anf(n)累加法(a2a1)(a3a2)(anan1)ana1an1an f(n
9、)累乘法a2a1a3a2a4a3an1an2 anan1ana1an1panq(p0,1，q0)转化法 化为an1mp(anm)构造anm为等比数列跟踪训练(1)在数列an中，已知a11，an12an1，则其通项公式为an()A2n1 B2n11C2n1 D2n2答案：A(2)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an.答案：nn121(3)(2018嘉陵区期末)已知数列an中，a12 018，an1nn1 an(nN*)，则an.解析：数列an中，a12 018，an1 nn1an(nN*)，则an1an nn1，所以当n2时，有 anan1n1n，an1an2n2n1，a2a112，
10、可得 anan1an1an2a2a1n1n n2n112，整理得ana11n，所以an2 018n，当n1时，a12 018符合通项故an2 018n.答案：2 018n考点三|数列性质、Sn与an的关系及应用(易错突破)【例5】(1)数列an满足an111an，a82，则a1.(2)已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为(3)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn.解析(1)先求出数列的周期，再进一步求解首项an111an，an111an1111an11an11an111an1an1 1 1an11111an21(1an2)an2，周期T(n1)(n2
11、)3.a8a322a22.而a211a1，a112.(2)当n1时，a1S13212，当n2时，Sn13(n1)22(n1)1，anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5，an2，n1，6n5，n2.(3)当n1时，S1a11，所以 1S1 1.易知Sn0，因为an1Sn1SnSnSn1，所以 1Sn 1Sn11，即 1Sn1 1Sn1，所以1Sn 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 1Sn(1)(n1)(1)n，所以Sn1n.答案(1)12(2)an2，n1，6n5，n2 (3)1n名师点拨 1.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn
12、中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解跟踪训练(1)将本例(3)变为数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6()A344B3441C45D451解析：当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列又a23S13a13，an1，n1，34n2，n2.当n6时，a63462344.答案：A(2)在本例(1)中，a2 017.解析：a2 017a67231a112.答案：12(3)在本例(2)中，若Sn3n22n，则an.解析：a1S1321，当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5，适合n1.an6n5.答案：6n5