1、24.1平面向量数量积的物理背景及其含义预习课本P103105，思考并完成以下问题 (1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？ (2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？ (3)向量数量积的性质有哪些？ (4)向量数量积的运算律有哪些？ 1向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos 记法ab|a|b|cos (2)零向量与任一向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积均为0.点睛(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦
2、值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定(2)两个向量的数量积记作ab，千万不能写成ab的形式2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：向量b在a的方向上的投影为|b|cos .向量a在b的方向上的投影为|a|cos .(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积点睛(1)b在a方向上的投影为|b|cos (是a与b的夹角)，也可以写成.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零3向量数量积的性质设a与b都是非零向量， 为a与b的夹角(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|.(3)aa
3、|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.点睛对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)点睛(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立1判断下列命题是否正确(正确
4、的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍然是向量()(2)若abbc，则一定有ac.()(3)若a，b反向，则ab|a|b|.()(4)若ab0，则ab.()答案：(1)(2)(3)(4)2若|a|2，|b|，a与b的夹角为60，则ab()A2B.C1 D.答案：B3已知|a|10，|b|12，且(3a)36，则a与b的夹角为()A60 B120C135 D150答案：B4已知a，b的夹角为，|a|2，|b|3.(1)若135，则ab_；(2)若ab，则ab_；(3)若ab，则ab_.答案：(1)3(2)6或6(3)0向量数量积的运算典例(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，
5、|b|2，求：ab; (ab)(a2b) (2)如图，正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca.解(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算活学活用已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)
6、(2ab)(a3b)解：(1)ab|a|b|cos 120346.(2)a2b2|a|2|b|232427.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|223253434260.与向量的模有关的问题典例(1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析(1)令e1与e2的夹角为，e1e2|e1|e2|cos cos .又0180，60.b(e1e2)0，b与e1，e2的夹角均为30，be1|b|e1|cos 301，从而|b
7、|.(2)a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.答案(1)(2)3求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化活学活用已知向量a，b满足|a|b|5，且a与b的夹角为60，求|ab|，|ab|，|2ab|.解：|ab|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab25252|a|b|cos 605025575，|ab|5.|ab|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|
8、2|b|22|a|b|cos 6025，|ab|5.|2ab|2(2ab)(2ab)4|a|2|b|24ab4|a|2|b|24|a|b|cos 60175，|2ab|5.两个向量的夹角和垂直题点一：求两向量的夹角1(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：选Ca(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b，a，b.题点二：证明两向量垂直2已知向量a，b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab)证明：|2ab|a2
9、b|，(2ab)2(a2b)2.即4a24abb2a24ab4b2，a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，(ab)(ab)题点三：利用夹角和垂直求参数3已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab互相垂直，则k的值为()A B.C D1解析：选B3a2b与kab互相垂直，(3a2b)(kab)0，3ka2(2k3)ab2b20.ab，ab0，又|a|2，|b|3，12k180，k.求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助0，求出的值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关
10、系式中，常利用消元思想计算cos 的值 层级一学业水平达标1已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选C由题意，知ab|a|b|cos 4cos 2，又0，所以.2已知|b|3，a在b方向上的投影为，则ab等于()A3 B.C2 D.解析：选B设a与b的夹角为.|a|cos ，ab|a|b|cos 3.3已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为()A6 B6C3 D3解析：选Bcd0，(2a3b)(ka4b)0，2ka28ab3kab12b20，2k12，k6.4已知a，b满足|a|4，|b|3，
11、夹角为60，则|ab|()A37 B13C. D.解析：选C|ab|.5在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形解析：选B，即一组对边平行且相等，0，即对角线互相垂直，四边形ABCD为菱形6给出以下命题：若a0，则对任一非零向量b都有ab0；若ab0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2b2.其中，正确命题的序号是_解析：上述三个命题中只有正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b2.当非零向量a，b垂直时，有ab0，显然错误答案：7设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e
12、2)_.解析：(2e1e2)(3e12e2)6e7e1e22e67cos 602.答案：8若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_解析：ca，ca0，(ab)a0，即a2ab0.|a|1，|b|2，12cosa，b0，cosa，b.又0a，b180，a，b120.答案：1209已知e1与e2是两个夹角为60的单位向量，a2e1e2，b2e23e1，求a与b的夹角解：因为|e1|e2|1，所以e1e211cos 60，|a|2(2e1e2)2414e1e27，故|a|，|b|2(2e23e1)24912e1e27，故|b|，且ab6e2ee1e262，所以cosa，b，所以a
13、与b的夹角为120.10已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，ab|a|b|cos 1.cos ，.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.层级二应试能力达标1已知|a|2，|b|1，且a与b的夹角为，则向量ma4b的模为()A2B2C6 D12解析：选B|m|2|a4b|2a28ab16b248211612，所以|m|
14、2.2在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8C8 D16解析：选D法一：因为cos A，故|cos A|216，故选D.法二：在 上的投影为|cos A|，故|cos A|216，故选D.3已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|ab|()A1 B.C. D3解析：选C由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b，因为|a|1，|b|2，所以cosa，b0，即ab，则|ab|.4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为BC的中点，则()A3 B0C1 D1解析：选C()|2|222cos 6022221.5设
15、向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：法一：由abc0得cab.又(ab)c0，(ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b22，|a|2|b|2|c|24. 法二：如图，作a，b，则c.ab，ABBC，又ab，(ab)c，CDCA，所以ABC是等腰直角三角形，|a|1，|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|24.答案：46已知向量a，b的夹角为45，且|a|4，(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的投影等于_解析：(2a3b)a2ab3b212，即3|b|2|b|40，解得|b|(舍负)，b在a方向上
16、的投影是|b|cos 451.答案：17已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2.又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.8设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0.即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，0，可得所求实数t的取值范围是.