1、3函数的单调性第一课时函数的单调性 预习课本P3637，思考并完成以下问题1函数yf(x)在区间A上是增加的(减少的)是如何定义的？ 2函数的单调区间是如何定义的？ 3函数的单调性是如何定义的？ 4单调函数的定义是什么？ 1函数在区间上增加(减少)的定义对于函数yf(x)的定义域内的一个区间A，(1)如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递增的(2)如果对于任意两数x1，x2A，当x1f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递减的点睛(
2、1)讨论函数的单调性时，必须指出在哪个区间内讨论，离开区间讨论单调性是无意义的(2)注意“任意”的含义，且指定区间必须是连续的2单调区间与单调性(1)单调区间如果yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间(2)单调性如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性(3)单调函数如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数点睛(1)函数的单调性是相对于函数定义域内的某个区间A而言的，在该区间内自变量x的取值必须是连续的(2)有些函数在定义域内的几个区间上都是单调的，但不
3、能说在定义域上是单调函数，如y在(，0)和(0，)上都是减少的，但它在定义域(，0)(0，)上不是减少的1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)函数ykx(k为常数，且k0)在R上是增函数()(2)函数yx2在R上是增函数()(3)函数y在定义域内是减函数()(4)函数y在区间(0，)上是减函数()答案：(1)(2)(3)(4)2下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)|x1| Df(x)x1答案：A3函数yx2的单调递增区间为()A(，0 B0，)C(0，) D(，)答案：A4
4、设函数f(x)(12a)xb是R上的增函数，则有()Aa BaCa Da答案：A用定义判断或证明函数的单调性典例证明函数yx在(0,3上为减函数证明设0x1x23，则有y1y2(x1x2)(x1x2).0x1x23，x1x20，1，即10，y1y20，即y1y2.函数yx在(0,3上是减函数定义法判断或证明函数单调性的一个步骤函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：第一步：取值即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.第二步：作差准确作出差值f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1)第三步：变形通过因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法，向
5、有利于判断差的符号的方向变形，一般变形为积的形式第四步：确定f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1)的符号当符号不能直接确定时，可通过分类讨论、等价转化，然后作差，作商等思路进行第五步：判断根据定义作出结论以上五个步骤可以简记为“取值作差变形定号判断”活学活用判断并证明函数f(x)x22x在R上的单调性解：利用图像可判定f(x)在(，1是增函数，在(1，)是减函数，下面用定义加以证明设x1，x2(，1)，且x1x2.则f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x2)，2(x1x2)(x1x2)(x1x2)，(x1x2)2(x1x2)x1x21.x1x20，x1x22，2(x1x2)0，(x1x2
6、)2(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)x22x在(，1是增函数同理可证，f(x)x22x在(1，)是减函数.利用图像求函数的单调区间典例画出函数yx22|x|1的图像并写出函数的单调区间解y即y函数图像如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为1,0，1，)利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“，”将它们隔开或用“和”连接，不能用“”连接活学活用作出函数f(x)的图像，并指出函数的单调区间解：f(x)的图像如图所
7、示由图像可知：函数的单调减区间为(，1和(1,2，单调增区间为2，).函数单调性的简单应用题点一：已知函数的单调性求参数1函数f(x)x22(a1)x2，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(，4，则实数a的值(或范围)是_(2)若函数f(x)在区间(，4上单调递减，则实数a的值(或范围)是_解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(，4，且函数f(x)图像的对称轴为直线x1a，所以有1a4，即a3.(2)因为函数f(x)在区间(，4上单调递减，且函数f(x)图像的对称轴为直线x1a，所以1a4，即a3.答案：(1)3(2)(，3题点二：利用函数的单调性比较大小2若函数f(x)在区间(，)
8、上是减函数，则下列关系式一定成立的是()Af(a)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)f(a2)解析：选D因为f(x)是区间(，)上的减函数，且a21a2，所以f(a21)f(a2)故选D.题点三：利用函数的单调性求解不等式3已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围解：f(x)在1,1上为增函数，且f(x2)f(1x)，解得1x.x的取值范围是.(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数(2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大
9、小在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上 层级一学业水平达标1.如图是函数yf(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是()A1B2C3 D4解析：选B由图像，可知函数yf(x)的单调递减区间有2个故选B.2下列函数中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有0”的是()Af(x) Bf(x)3x1Cf(x)x24x3 Df(x)x解析：选C0f(x)在(0，)上为增函数，而f(x)及f(x)3x1在(0，)上均为减函数，故排除A、B.f(x)x在(0,1)上递减，在1，)上递增，故排除D.3函数yx23x2的单调减区间是()A0，) B1，)C1,2 D.解析：选
10、D由二次函数yx23x2图像的对称轴为x且开口向上，所以该函数的单调减区间为，故选D.4函数f(x)在R上是()A减函数 B增函数C先减后增 D无单调性解析：选B画出该分段函数的图像，由图像可知，该函数在R上是增函数5下列函数中，在(0,2)上为增函数的是()Ay3x2 ByCyx24x5 Dy3x28x10解析：选D显然A、B在(0,2)上为减函数，排除；对C，函数在(，2)上为减函数，也不符合条件；对D，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数故选D.6.函数yf(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是_答案：(，1和(1，)7函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函
11、数，则m的取值范围是_解析：由题意知2，解得m8.答案：(，88已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x3)f(2x)，则x的取值范围为_解析：f(x)是定义在R上的增函数，又f(x3)f(2x)，x32x，x，即x的取值范围是.答案：9证明函数f(x)x24x1在2，)上是增函数证明：设x1，x2是区间2，)上的任意两个实数，且x2x12，则f(x1)f(x2)(x4x11)(x4x21)xx4x14x2(x1x2)(x1x2)4(x1x2)(x1x2)(x1x24)x2x12，x1x20，x1x24，即x1x240，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)x24x1在2
12、，)上是增函数10已知函数yf(x)是定义在(0，)上的增函数，对于任意的x0，y0，都有f(xy)f(x)f(y)，且满足f(2)1.(1)求f(1)，f(4)的值；(2)求满足f(x)f(x3)1的x的取值范围解：(1)令xy1，则f(1)2f(1)，f(1)0.f(4)f(22)f(2)f(2)，而f(2)1.f(4)212.(2)由f(x)f(x3)1，得f(x)f(x3)1，而f(x3)1f(x3)f(2)f(2(x3)，f(x)f(2(x3)函数yf(x)是定义在(0，)上的增函数解得3x6.x的取值范围是(3,6)层级二应试能力达标1设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区
13、间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定解析：选D根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定，选D.2若函数f(x)在(，)上为减函数，则()Af(a)f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a21)f(a) Df(a21)f(a)解析：选Da21a20，a21a.f(a21)f(a)而A、B、C中的大小关系均无法判断故选D.3
14、函数f(x)的单调增区间是(2,3)，则yf(x5)的单调增区间是()A(3,8) B(7，2)C(2,3) D(0,5)解析：选B函数f(x)的单调增区间是(2,3)，yf(x5)的单调增区间满足2x53，解得x(7，2)，此即为函数yf(x5)的单调增区间，故选B.4若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1)C(0,1) D(0,1解析：选D因为g(x)在区间1,2上是减函数，所以a0.因为函数f(x)x22ax的图像开口向下，对称轴为直线xa，且函数f(x)在区间1,2上为减函数，所以a1.故满足题意的a的取
15、值范围是(0,15已知yf(x)在0，)上是减函数，则f与f(a2a1)的大小关系为_解析：a2a12，由函数的单调性知f(a2a1)f.答案：f(a2a1)f6若函数f(x)在R上为增函数，则实数b的取值范围为_解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)(2b1)xb1在(0，)上是增函数；函数h(x)x2(2b)x在(，0上是增函数，且满足h(0)g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1b2.即实数b的取值范围是1,2答案：1,27用定义判断函数f(x)在(2，)上的单调性解：设2x1x2，则f(x2)f(x1)，2x1x2，x2x10，x120，x220，故当a时，
16、f(x2)f(x1)0，f(x)在(2，)是减函数当a时，f(x2)f(x1)0，f(x)在(2，)是增函数综上得，a时，f(x)在(2，)是减函数；a时，f(x)在(2，)是增函数8已知f(x)在(0，)上是增函数，且f(x)0，f(3)1.判断g(x)f(x)在(0,3上是增函数还是减函数，并加以证明解：函数在(0,3上是减函数，证明如下：任取x1，x2(0,3，且x1x2，则g(x1)g(x2)f(x1)f(x2).f(x)在(0，)上是增函数，f(x1)f(x2)0.又f(x)0，f(3)1，0f(x1)f(x2)f(3)1.0f(x1)f(x2)1.1,10.g(x1)g(x2)0，
17、于是函数g(x)f(x)在(0,3上是减函数第二课时函数的最大值、最小值预习课本P3839，思考并完成以下问题1函数最大值的定义是什么？ 2什么是函数的最小值？ 1函数的最大值一般地，对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x0)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M，那么我们称M是函数yf(x)的最大值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大值，记作ymaxf(x0)2函数的最小值一般地，对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x0)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M，那么我们称M是函数yf(x)的最小值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最小
18、值，记作yminf(x0)点睛(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域，这不同于单调性(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)若对任意xD，都有f(x)M，则M一定是yf(x)的最大值()(2)如果函数yf(x)在定义域内存在x1和x2，使定义域内的任意x，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值()(3)函数的最小值一定比最大值小()答案：(1)(2)(3)2定义在R上的函数f(x)满足f(x)4，则f(x)的最小值是()A4Bf(4)C4.001
19、 D不能确定答案：D3函数f(x)的图像如图，则其最大值、最小值分别为()Af ，f Bf(0)，Fn Cf ，f(0)Df(0)，f(3)答案：B4y在区间2,4上的最大值、最小值分别是()A1， B.，1C.， D.，答案：C5函数y2x21，xN*的最小值为_答案：3利用图像求函数的最值典例求函数y|x1|x2|的最大值和最小值解y|x1|x2|作出函数的图像，由图可知，y3,3所以函数的最大值为3，最小值为3.类题通法用图像法求最值的一般步骤活学活用已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值解：作出函数f(x)的图像(如图)，由图像可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时
20、，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.利用单调性求函数的最值典例已知函数f(x)，x3,5，(1)判断函数f(x)的单调性并证明(2)求函数f(x)的最大值和最小值解(1)f(x)在3,5上为增函数，证明如下：任取x1，x23,5且x1x2，则f(x1)f(x2)，x1，x23,5且x1x2，x1x20，x120，x220，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在3,5上为增函数(2)由(1)知，当x3时，函数f(x)取得最小值为f(3)，当x5时，函数f(x)取得最大值为f(5).(1)如果函数yf(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c
21、)上是减函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最大值f(b)(2)如果函数yf(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最小值f(b)(3)如果函数yf(x)在区间a，b上是增(减)函数，则在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值活学活用求函数f(x)在区间2,5上的最值解：任取2x1x25，则f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x210，x110，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)f(x)在区间2,5上是减函数f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).函数最值的实际应用典例某商
22、场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式yf(x)(注明函数定义域)(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)axb，由表格得方程组解得所以yf(x)3x162.又y0，所以30x54，故所求函数关系式为y3x162，x30,54(2)由题意得，P(x30)y(x30)(1623x)3x2252x4 8603(x42)243
23、2，x30,54当x42时，最大的日销售利润P432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系；(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式；(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)；(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案 活学活用某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为_元/瓶
24、解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y(x3)80(x3)(9x)80(x6)2720(x3)，所以x6时，y取得最大值答案：6层级一学业水平达标1函数f(x)在1,5)上()A有最大值，无最小值B有最小值，无最大值C有最大值，也有最小值 D无最大值，也无最小值解析：选A函数f(x)在1,5)上是减函数，函数f(x)有最大值，无最小值2下列函数在1,4上最大值为3的是()Ay2 By3x2Cyx2 Dy1x解析：选A由函数性质知，B、C中的函数在1,4上均为增函数，A、D中的函数在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.3函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为()A1
25、0,6 B10,8C8,6 D以上都不对解析：选A当1x2时，82x610，当1x1时，6x78.f(x)minf(1)6，f(x)maxf(2)10.4若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A2B2C2或2D0解析：选C当a0时，yax1在1,2上为增函数，(2a1)(a1)a2；当a0时，yax1在1,2上为减函数，(a1)(2a1)a2，即a2.故a2或2.5函数f(x)x26x8在2,1上的最大值是()A8 B13 C17 D8解析：选Bf(x)x26x8(x3)217，函数f(x)在2,1上是增函数，f(x)的最大值为f(1)13.6函数yf(x)的定义
26、域为4,6，且在区间(4，2上递减，在区间(2,6上递增，且f(4)f(6)，则函数f(x)的最小值为_，最大值为_解析：画出f(x)的一个大致图像，由图像可知最大值为f(6)，最小值为f(2)(或根据单调性和最大(小)值的定义求解)答案：f(2)f(6)7函数y，x3,4的最大值为_解析：函数y在3,4上是单调减函数，故y的最大值为1.答案：18函数f(x)x2bx1的最小值是0，则实数b_.解析：函数f(x)为二次函数，其图像开口向上，最小值为0.b2.答案：29已知函数f(x)|x|(x1)，试画出函数f(x)的图像，并根据图像解决下列两个问题(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函
27、数f(x)在区间的最大值解：f(x)|x|(x1)的图像如图所示(1)f(x)的单调增区间是和0，)，单调减区间是.(2)f，f，f(x)在区间的最大值为.10已知函数f(x)，x3，2，求函数的最大值和最小值解：设3x1x22，则f(x1)f(x2).由于3x1x22，所以x1x20，x110，x210.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)，x3，2是增函数又因为f(2)4，f(3)3，所以函数的最大值是4，最小值是3.层级二应试能力达标1已知函数y在2,4上的最大值为1，则k的值为()A2B4C2或4 D4解析：选A当k0时，函数y在2,4上为减函数，1，即k
28、2.当k0时，函数y在2,4上为增函数，1，即k4.又k0，k无解综上可知k2.2当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析：选C令f(x)x22x(x22x1)1(x1)21(0x2)，函数图像如图所示：f(x)最小值为f(0)f(2)0.而ax22x恒成立，a0.3某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x(其中销售量单位：辆)若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A90万元 B60万元C120万元 D120.25万元解析：选C设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15x)台，公司
29、获利为Lx221x2(15x)x219x30230，当x9或10时，L最大为120万元4已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)的最小值为2，则f(x)的最大值为()A1 B0C1 D2解析：选C因为f(x)(x2)24a，由x0,1可知当x0时，f(x)取得最小值，即44a2，所以a2，所以f(x)(x2)22，当x1时，f(x)取得最大值为121.故选C.5函数y|3x1|在2,2上的最大值为_解析：y|3x1|当2x时，03x15；当x2时，03x17.0y7，故其最大值为7.答案：76函数f(x)的最大值为_解析：函数的自变量x需满足解得1x1.因为y在区间1,1上为增函数，y
30、在区间1,1上为减函数，所以根据函数单调性的判断规律可得：f(x)在区间1,1上为增函数，故f(x)maxf(1).答案：7设函数f(x)(a为常数)(1)对任意x1，x2R，当x1x2时，0，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g(x)x24ax3在区间1,3上的最小值h(a)解：(1)由题意，函数在定义域上为增函数，则所以1a4.故实数a的取值范围为1,4(2)g(x)x24ax3(x2a)234a2，对称轴为x2a，由(1)得22a8.当22a3，即1a时，h(a)g(2a)34a2；当32a8，即a4时，h(a)g(3)1212a.综上，h(a)8某市一家报刊摊点，从该市报社
31、买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大的利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)?解：设每天从报社买进x份报纸，每月获利为y元，则：y0.20(18x12180)0.3512(x180)0.6x1 188,180x400，xN.函数y0.6x1 188在区间180,400上是减函数，所以当x180时函数取最大值，最大值为y0.61801 1881 080.即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元