1、第八节 函数与方程教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.基础梳理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，把使的实数x叫作函数yf(x)的零点(2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间内有零点，即存在c(
2、a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)0的根f(x)0 连续不断f(a)f(b)0(a，b)f(c)0 2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)与x轴的交点无交点零点个数(x1,0)，(x2,0)(x1,0)2 1 0 三基自测1(必修13.1例题改编)函数f(x)lg xx3的零点个数为()A0 B1C2 D3答案：B2(必修13.1练习改编)函数f(x)ex14x4的零点所在区间为()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)答案：B3(必修13.2例题改编)用二分法求f(x)2x3x7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第
3、二次的零点区间为答案：(1,1.5)考点一|判定函数零点区间(方法突破)方法1 使用零点存在性定理判断区间【例1】(2017安徽芜湖模拟)函数f(x)2x ln1x1 的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)解析 f(x)2xln1x12xln(x1)，当1x2时，ln(x1)0，2x 0，所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点f(2)1ln 11，f(3)23ln 223ln 232ln 83.82 22.828e，8e2，即ln 82，即f(3)0.f(x)在(2,3)内存在一个零点同理可证f(4)0，f(5)0.答案 B方法2 使用函数图象
4、的交点位置判定区间【例2】已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x 1x的零点依次为a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbac解析 在同一坐标系下分别画出函数y2x，ylog3x，y 1x 的图象，观察它们与yx的交点可知abc.答案 A名师点拨 1.若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)0时，f(x)在(a，b)上存在零点2图象法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断3注意易失误点函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称
5、性或结合函数图象跟踪训练(1)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)答案：C(2)(2017西安五校联考)函数yln(x1)与y 1x的图象交点的横坐标所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案：B考点二|判断函数零点个数(思维突破)【例3】(1)(2017德州模拟)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1,1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是()A9 B10C11 D18(2)函数f(x)ln xx22x，x0，4x1，x0的零点个数是解析(1)由F(x)0得f(
6、x)|lg x|.分别作f(x)与y|lg x|的图象，如图，所以有10个零点，故选B.(2)当x0时，令ln xx22x0，得ln xx22x，作yln x和yx22x的图象，显然有两个交点当x0时，令4x10，得x14.综上共有3个零点答案(1)B(2)3名师点拨 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象
7、的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点跟踪训练(1)若本例(1)f(x)变为f(x)2|x|1，其余不变，则F(x)f(x)|lg x|零点如何选？解析：由F(x)0得f(x)|lg x|，所以函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数就是函数yf(x)与y|lg x|图象交点的个数作出函数图象，如图所示：当0 x10时，有10个交点；当x10时，|lg x|1，所以此时函数yf(x)与y|lg x|图象无交点故函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是10.(2)在本例(2)中的函数变为f(x)|x22x|a21(a0)，则零
8、点个数如何？解析：令f(x)0得|x22x|a21，作y|x22x|图象如图，ya211，f(x)有两个零点考点三|函数零点的应用(方法突破)方法1 用数形结合思想解决已知零点求参数【例4】已知函数f(x)|2x1|，x2，3x1，x2，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A(1,3)B(0,3)C(0,2)D(0,1)解析 画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.答案 D方法2 用转化思想解决二次方程根的分布问题【例5】(1)已知函数f(x)2mx
9、2x1在区间(2,2)内恰有一个零点，则实数m的取值范围是()A.38，18B38，18C.38，18D18，38(2)(2018全国二模)函数f(x)cos x2|cos x|m，x0,2恰有两个零点，则m的取值范围为()A(0,1 B1C0(1,3 D0,3解析(1)当m0时，函数f(x)x1有一个零点x1，满足条件当m0时，当18m0，m18时，可知f(2)0，不合题意，所以函数f(x)2mx2x1在区间(2,2)内恰有一个零点，需满足f(2)f(2)0或f20，2 14m0或f20，0 14m2.解得18m0或0m38；解得m，解得m38.综上可知18m38，故选D.(2)f(x)co
10、s x2|cos x|m，x0,2的零点个数就是ycos x2|cos x|3cos x，x0，2 32，2，cos x，x2，32与ym的交点个数作出ycos x2|cos x|的图象，由图象可知m0或1m3.故选C.答案(1)D(2)C名师点拨 已知函数零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解(4)解决二次函数的零点问题：可利用一元二次方程的求根公式；可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；利用二次函数的图象列不等式组跟踪训练(1)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是答案：(0,1(2)已知函数f(x)2xa，x0，x2axa，x0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是答案：(4，)