1、2021 学年第二学期期末调研测试卷高一数学注意事项：1本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答2本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，全卷满分150 分，考试时间 120 分钟第 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的1某中学有初中生 700 人，高中生300 人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从初中生中抽取35 人，则样本容量 n 为A 5B 30C 50D1002正方体1111DCBAABCD 中，下列判断错误
2、的是A11DBAC BDCBD11 C111CAAD D11BCCA3已知复数212i1iz（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 z A31 i44B13 i44C11i2 D11i2 4已知向量 a，b满足1a，1a b ，则(2)aabA.4B.3C.2D.05在空间中，a，b 是不重合的直线，是不重合的平面，则能推出/a b 成立的是A,/ab B/,abC,abD,ab6长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为,，则A.222coscoscos2B.2223coscoscos2C.222sinsinsin2D.2223sinsinsin27已知,A B C
3、为球O 的球面上的三个点，1O为 ABC的外接圆，若1O的面积为 4，1ABBCACOO，则球 O 的表面积为A.64B.48C.36D.328圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高为(15 315)m，在它们之间的地面上的点 M（,B M D 三点共线）处测得楼顶 A，教堂顶C 的仰角分别是12 和3，在楼顶 A 处测得塔顶C 的仰角为6，则小明估算索菲亚教堂的高度为A.20mB.30mC.20 3mD.30 3m二、选择题：本题共
4、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分9设,A B 为两个互斥事件，且()0,()0P AP B，则下列说法正确的是A.()0P AB B.()()()P ABP A P BC.()()()P ABP AP BD.()1P AB 10中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即2222221()42cabSca（S 为三角形的面积，,a b c
5、 为三角形的三边），现有 ABC满足 sin:sin:sin2:3:7ABC，且ABC的面积6 3ABCS，则下列结论正确的是A.ABC的周长为102 7B.ABC的三个内角满足2ABCC.ABC的外接圆半径为 4 213D.ABC的中线CD 的长为 3 211棱长均为 1 的正三棱锥VABC中，M，N，Q 分别是棱 AB，BC，VC 的中点，下列说法正确的是AVABCB平面 MNQ 截正三棱锥所得截面的面积为 14C/MQBCD异面直线VM 和 BQ 所成角的余弦值等于 2312已知平面向量,a b c 满足 cxayb，且0a c，0b c，则下列说法正确的是A若0a b，则可能0 x，0
6、y B若0a b，则可能0 x，0y C若0a b，则可能0 x，0y D若0a b，则可能0 x，0y 第 卷（非选择题部分，共 90 分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13已知复数z2256(3)immmm（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 m 为14已知在 ABC中，2AB，1AC ，3A，A 的角平分线交线段 BC 于 M，则AM 15甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为 60 kg，方差为100，乙队体重的平均数为 64 kg，方差为 200，又已知甲、乙两队的队员人数之
7、比为1:3，那么甲、乙两队全部队员的方差等于16已知矩形 ABCD，2AB，1AD ，沿 BD 将 ABD折起成BDA.若点 A在平面 BCD上的射影落在 BCD的内部(不包括边界)，则四面体BCDA 的体积的取值范围是四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取 50 名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄(岁)10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70调查人数mn
8、141286参与的人数3412632表中所调查的居民年龄在10，20)的人数是在20，30)的人数的两倍少 8 人()求表中 m，n 的值，并补全如图所示的频率分布直方图；()在被调查的居民中，若从年龄在10，20)，20，30)内的居民中各随机选取 1 人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率18如图，已知四棱锥VABCD的底面是矩形，VD 平面 ABCD，222ABADVD，,E F G 分别是棱,AB VC CD 的中点.()求证：/EF平面VAD；()求二面角 AVEG的大小19.为抗击新冠肺炎，某单位组织中、老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接
9、种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功(每针接种后是否合格相互之间没有影响)根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为 78，56，57；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为 89，34，34()甲、乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？()若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率20在锐角 ABC中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，且满足212AC ABbab.()求角 C 的大小；()求 sinsinsinABC的取值范围21如图，,A B 是单位圆（圆心为 O）上两动点，C 是劣弧 AB（含端点）上的动点.记OCOAOB（,均为实数）()若 O
10、 到弦 AB 的距离是 12，（i）当点C 恰好运动到劣弧 AB 的中点时，求 AC CB 的值；（ii）求 的取值范围；()若532OAOB，记向量 2OAOB 和向量OAOB 的夹角为，求2cos 的最小值22如图，已知四棱锥VABCD，底面 ABCD 是矩形，VDCD，VDBC，点 E 是棱VD上一动点（不含端点）()求证：平面 ADE 平面VCD；()当22CDAD且6VCD时，若直线 VC 与 平 面 ADE 所 成 的 线 面 角,32 ，求点 E 的运动轨迹的长度12021 学年第二学期期末调研测试卷高一数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每
11、小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.题号12345678答案CCDBCAAD二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.题号9101112答案ACDABABDBCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.2；14.2 33；15.178；16.3 2 5(,)615四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”
12、的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取 50 名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄(岁)10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70调查人数mn141286参与的人数3412632表中所调查的居民年龄在10，20)的人数是在20，30)的人数的两倍少 8 人()求表中 m，n 的值，并补全如图所示的频率分布直方图；()在被调查的居民中，若从年龄在10，20)，20，30)内的居民中各随机选取 1 人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率17.解：(1)由题意得mn10，m82n，解得m4，n6.-2 分补全频
13、率分布直方图，如图所示：2-5 分(2)记年龄在10,20)内的居民为 a1，A2，A3，A4(其中居民 a1 没有参与抢红包括动)，年龄在20,30)内的居民为 b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民 b1，b2 没有参与抢红包活动)各选取 1 人的情形有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)
14、，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共 24 种-7 分其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有 10 种，-9 分所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率 P1024 512.-10 分18如图，已知四棱锥VABCD的底面是矩形，VD 平面 ABCD，222ABADVD，,E F G 分别是棱,AB VC CD 的中点.()求证：/EF平面VAD；()求二面角 AVEG的大小.18.()证明:取VD 的中点 I，连接,FI AI,在VDC中，易得1/2FIDC,且1/2AEDC，故/AE FI-2 分所以四边形 AEFI 为平行四边形，可得/EF AI又 EF 平面VAD
15、,AI 平面VAD所以/EF平面VAD-4 分（书写不规范统一扣 1 分）()如图，过 A 作 AKVE于 K，连接 KG因为 VD 面 ABCD，所以 VDEG,又 EGDC,故EG 平面VDC，得 EGVG,同理可得 EAVA3又2,1VAVGAEDG，故 Rt VAERt VGE,又 AKVE，故 KGVE-7 分由二面角定义知，AKG即为二面角 AVEG的平面角，-9 分由62AKKG，2AG，由余弦定理得1cos2AKG，故二面角 AVEG的大小为23AKG.-12 分19为抗击新冠肺炎，某单位组织中、老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才
16、能说明疫苗接种成功(每针接种后是否合格相互之间没有影响).根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为 78，56，57；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为 89，34，34()甲、乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？()若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率19.解：()记中年员工甲接种成功的事件为 A,老年员工乙接种成功的事件为 B,则 P A 7552586748，-3 分 P B 83319442，-6 分 P AP B,故中年员工甲接种成功的概率更大；-7 分()法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为 C,则 CABABAB-9 分 P CP A
17、BABABP ABP ABP AB P A P BP A P BP A P B251251251731148248248296-12 分4法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为 C,则 CAB,-9 分 251231148296P CP ABP A P B-11 分 231731148296P CP C .-12 分20在锐角ABC中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，满足212AC ABbab，()求角 C 的大小；()求sinsinsinABC的取值范围解()22221cos22bcaAC ABbcAbab-3 分整理得222abcab，故212cos222abcbaC
18、所以3C-5 分()由锐角ABC知0,2A,2,03AB,得,6 2A-7 分故3sinsinsinsinsin23ABCAA3sinsincossincos233AAA333sincos222AA33 sin62A-9 分因为,6 2A，2,633A，3sin,162A所以 sinsinsinABC233,233-12 分521如图，,A B 是单位圆（圆心为 O）上两动点，C 是劣弧 AB（含端点）上的动点.记OCOAOB（,均为实数）.()若O 到弦 AB 的距离是 12，（i）当点 C 恰好运动到劣弧 AB的中点时，求 AC CB 的值；（ii）求 的取值范围；()若532OAOB，记
19、向量 2OAOB 和 OAOB 的夹角为，求2cos 的最小值.解：()由O 到弦 AB 的距离是 12，可得30ABOBAO 故120AOB-1 分（i）由题意得120ACB,1ACCB,故1cos,1 1 cos602AC CBACCBAC CB -3 分（ii）记劣弧 AB的中点为 D,212OC OAOAOB OA 212OC OBOA OBOB +得12OC OAOB 进一步得222cos,1,2OC OAOBOC ODOC OD 其中,0 60OC OD ，-7 分（其他解法酌情给分）()记AOB，由532OAOB两边平方，得1,85cos-8 分6 233cosOAOBOAOB2
20、54cosOAOB，22cosOAOB 222cos2OAOBOAOBOAOBOAOB 233cos54cos22cos9 1cos2 54cos91184cos5-10 分记 911845fxx，显然 fx 关于1,85cosx单调递增，所以当5cos8x时，2min539cos840f.-12 分22如图，已知四棱锥VABCD，底面 ABCD 是矩形，VDCD，VDBC，点 E 是棱VC 一点（不含端点）.()求证：平面 ADE 平面VCD；()当22CDAD且6VCD时，若直线VC 与平面ADE 所成的线面角,3 2 ，求点 E 的运动轨迹的长度.解：()证明：因为VDBC，/BC AD
21、,故 ADVD,又 ADDC所以 AD 平面VCDAD 平面 ADE所以平面 ADE 平面VCD-4 分()首先，取VC 中点 F,连接 DF 在等腰VDC中，DFVC由()知 AD 平面VCD，得 ADDF由得 DF 平面 ADF,即此时当 F 与 E 点重合时，7直线VC 与平面 ADE 所成的线面角为 2，-6 分其次，由题意易得，存在点 F 两侧各有两个点，如图分别记为12,E E,使得60 ，E 的运动轨迹即为线段12E E.作 CHED于 H,又 AD 平面VCD,得 ADCH,故 CH 平面 ADE,所以VC EC 在平面 ADE 的射影为 EH，CEH即为直线VC 与平面 ADE 所成的线面角，即13CE H-8 分此时，6VCD，13CE H，此时 H 与 D 重合，故14 33sin 60CDCE-10 分同理可得23VE D,2sin 30sin120CECD,解得22 33CE 故 E 的运动轨迹长度为124 32 32 3333E E.-12 分
