1、二十四空间向量的数量积 (15分钟30分)1空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos ，等于()A BC D0【解析】选D.因为()|cos |cos 0，所以，所以cos ，0.2已知2，且b(ab)，则向量a在b方向上的投影数量为()A1 B C2 D【解析】选B.设a和b的夹角为，因为b(ab)，所以b(ab)abb22cos 20，所以cos .所以向量a在b方向上的投影数量为2cos .3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于_【解析】因为|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 6097，所以|a3b|.答案：4已知向量a，b满足：|a
2、|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.【解析】因为a与2ba垂直，所以a(2ba)0，即2ab|a|20.所以2|a|b|cos a，b|a|20，所以4cos a，b40，所以cos a，b，又a，b0，所以a与b的夹角为.答案：5如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离【解析】因为，所以|2()2|2|2|2222122(22cos 9022cos 12022cos 90)8，所以|2，即A，D两点间的距离为2. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2021青岛高二检测)已知
3、|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|等于()A B97 C D61【解析】选C.|2a3b|24a29b212ab449912|a|b|cos 6097122361.所以|2a3b|.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A1 B2 C3 D5【解析】选A.|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左、右两边分别相减得4ab4，所以ab1.3(2021吉林高二检测)已知6，3，ab12，则向量a在b方向上的投影数量为()A4 B4 C2 D2【解析】选B.由题意得cos a，b，所以向量a在b方向上的投影数量为cos a，b
4、64.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D0【解析】选B.如图所示由()2222()32，知正确；由()()0，知正确；与的夹角为120，故不正确二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(ba)c(ca)b一定不与c垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2【解析】选BD.根据向量数量积的定义及性质，可知ab和ca是实数，而
5、c与b不共线，故(ab)c与(ca)b不一定相等，故A错误；因为(ba)c(ca)bc(ba)c2(ca)(bc)，所以当ab，且ac或bc时，(ba)c(ca)bc0，即(ba)c(ca)b与c垂直，故C错误；易知BD正确6在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积能为0的有()AAD1 BC D【解析】选ABC.对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1A1D，而A1DB1C，所以AD1B1C，此时有0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，易得ACBD，可得AC平面BB1D1D，故有ACBD1，此时0；对于选项C，由长方体的性质可得AB平面ADD1A1，所以ABA
6、D1，所以0.对于选项D，由于与不可能垂直，所以不可能为0.三、填空题(每小题5分，共10分)7如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则_.(填“”)【解题指南】判断数量积的符号，主要是判断向量的夹角的大小，也可以用已知长度和夹角的向量表示要求的数量积，获得其符号【解析】由题()()|cos 120|cos 120|cos 1200，所以.答案：8已知2，10，a，b120，则向量b在向量a方向上的投影数量是_，向量a在向量b方向上的投影数量是_.【解析】根据向量投影的定义，向量b在向量a方向上的投影数量是cos a，b10cos 1205；向量a在向量b方向上的投影数量是c
7、os a，b2cos 1201.答案：51四、解答题(每小题10分，共20分)9(2021延安高二检测)已知向量a，b满足2，1，.(1)求a在b方向上的投影数量；(2)求a与a2b夹角的余弦值【解析】(1)由得(a2b)2(ab)2，即a24ab4b2a22abb2，所以6ab3b2，所以ab，设a和b的夹角为，则a在b方向上的投影数量为cos .(2)设a与a2b夹角为，cos .10如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求
8、MN的长【解析】(1)(ca)a(ba)abc.(2)因为(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115，所以|abc|，所以|abc|，即MN.1已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_.【解析】因为abc0，所以(abc)20，所以a2b2c22(abbcca)0，所以abbcca13.答案：132如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长【解析】(1)，.因为BB1平面ABC，所以0，0.又ABC为正三角形，所以，.因为()()2|cos ，2110，所以AB1BC1.(2)结合(1)知|cos ，221.又|AB1| |，所以cos ，所以| |2，即侧棱长为2.