1、二十八直线的方向向量与平面的法向量(15分钟30分)1已知线段AB的两端点坐标为A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交【解析】选C.因为(9，2，1)(9，3，4)(0，5，3)，所以AB平面yOz.2设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()Al BlCl Dl或l【解析】选D.因为ab0，所以l或l.3在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC的法向量的是_.(填序号)；AA1；B1B；【解析】因为AA1平面ABC，B1B平面ABC，所以与可以作为平面ABC的法向量答案：4已知直线l的
2、方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，且l，则m_.【解析】因为l，所以l的方向向量与的法向量垂直所以(2，m，1)2m20.解得m8.答案：85如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量【解析】如图，以A为原点，以，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，则，.易知向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x2，则y1，z1，所以平面SDC的一个法向量为(2，1，1).
3、(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定【解析】选A.因为(2，2，2)，(1，1，1)，所以2，所以.即ABCD.2已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PAAB，PAAC，则x()A B C D1【解析】选A.由题意得，(x，1，z)，(1，1，1)，(2，0，1)，因为PAAB，PAAC，所以0，0，所以解得所以x.3如图，PA平面ABCD，四边
4、形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD的值为()A12 B11C31 D21【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PAa，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a).设点F的坐标为(0，y，0)，则(1，y，0)，.因为BFPE，所以0，解得y，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AFFD11.4已知(2，2，1)，(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为()A(1，2，2) BC D【解析】选C.设平面ABC的一个法向量为a(x，y，z)，则有所以令z1，得y1，x，所以a，故平面ABC的一个单位法向量为.二、多选题
5、(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5若n(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面法向量的是()An1(2，3，1) Bn2(200，300，100)Cn3(2，3，) Dn4(2，3，0)【解析】选ABC.因为n1n，n2100n，n3n，所以n1n，n2n，n3n，即n1，n2，n3都能作为平面的法向量6已知平面内有一点A(2，1，2)，的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()AP(3，2，1)BPCPDP【解析】选AB.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即n是否为0.对于选项A，(1
6、，1，1)，则n(1，1，1)(3，1，2)0，故点P在平面内；对于选项B，则n(3，1，2)0，故点P在平面内；对于选项C，则n(3，1，2)60，故点P不在平面内；对于选项D，则n(3，1，2)120，故点P不在平面内三、填空题(每小题5分，共10分)7已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号).【解析】2(1)(1)2(4)(1)2240，则，即ABAP；4(1)2200，则，即APAD.又ABADA，所以AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量
7、答案：8(2021丽水高二检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D的位置关系是_，若D1EEC，则AE_.【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点，以，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，又ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，m，0)，0m2，则(1，m，1)，(1，0，1)，所以1010，所以直线D1E与A1D垂直因为(1，m，1)，(1，2m，0)，D1EEC，所以1m(2m)00
8、，解得m1，所以AE1.答案：垂直1四、解答题(每小题10分，共20分)9已知ABC的边AB和AC的方向向量分别为m(1，2，2)，n(2，1，2).(1)求AB边和AC边上的高所在直线的方向向量；(2)求平面ABC的一个法向量【解析】(1)设AB边和AC边上的高所在直线的方向向量分别为u(x，y，z)，v(a，b，c)；则um0，vn0，可得x2y2z0，2ab2c0，取u(4，1，1)，v(1，4，1).(2)设垂直AB边和AC边的直线的方向向量为l(x1，y1，z1)，所以lm0，ln0，所以，取l(6，2，5).10如图所示，在三棱锥PABC中，ABAC，点D为BC的中点，PO平面AB
9、C，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3，试证明平面AMC平面BMC.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)，(1)(0，3，4)，(8，0，0)，所以(0，3，4)(8，0，0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，所以.又因为(4，5，0)，所以，则(0，3，4)0，所以，即APBM.又根据(1)的结论知APBC，BMBCB，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又因为AM平
10、面AMC，故平面AMC平面BMC.1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BPA1E，BQA1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是_；(2)的最小值为_.【解析】(1)以D为空间直角坐标系的原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，如图所示，A1(1，0，1)，E，B(1，1，0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，(a1，b1，1)，(m1，n1，1)，因为BPA1E，BQA1E，所以解得所以(nb，nb，0)，(1，1，0)，所以(nb)，即
11、PQ与BD的位置关系是平行(2)由(1)可知ba，(a1，b，0)，.当a时有最小值，最小值为.答案：(1)平行(2)2如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.【解析】存在因为PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0).不妨令P(0，0，t)，所以(1，1，t)，(1，1，0)，设平面PFD的一个法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得xy，所以n.设点G的坐标为(0，0，m)，又E，则.要使EG平面PFD，只需n0，即0m10，即m0，解得mt，从而满足AGAP的点G即为所求