1、课时达标检测（十三） 抛物线的简单几何性质一、选择题1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211xBy211xCy222x Dy222x解析：选C在方程2x4y110中，令y0，得x，抛物线的焦点为F，即，p11，抛物线的方程是y222x.2过点(2,4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛
2、物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：选B设A(x，y)，则y24x，(x，y)，(1x，y)，xx2y24.由可解得x1，y2.4设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则| |的值为()A1 B2C3 D4解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1x2x33，则| | |x3(x1x2x3)3. 5.(全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6
3、D8解析：选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.二、填空题6顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的方程是_解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py或x22py(p0)由顶点到准线的距离为4知p8，故所求抛物线的方程为x216y或x216y.答案：x216y或x216y7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析
4、：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为1.答案：8过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为yx，与x22py联立得A，B两点的横坐标为xAp，xBp，故Ap，p，Bp，p.所以|AF|p，|BF|2p，所以.答案：三、解答题9正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解：如图所示，设
5、正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又因为|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.因为x10，x20,2p0，所以x1x2，由此可得|y1|y2|，即点A，B关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.所以|AB|2y14p.10.已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.