1、2014-2015学年安徽省黄山市七校高三（上）11月联考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1若复数Z满足（32i）Z=|4+3i|，则Z的虚部为（） A B C D 2已知函数f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（2）=（） A B 2 C D 23函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为（） A B C 0 D 4执行如图的程序框图，输出的T=（） A 12 B 20 C 42 D 305曲线（为参数）的对称中心（） A 在直线y=2x上 B 在直线y=2x上
2、 C 在直线y=x3上 D 在直线y=x+3上6下列命题中，是平面与平面垂直判定定理的是（） A 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么两个平面相互垂直 B 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 C 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 D 如果一个平面内的一条直线垂直于另一平面的两条相交直线，那么这两个平面互相垂直7当0时，x2+y2cos=sin所表示的曲线是（） A 焦点在x轴上的椭圆 B 焦点在x轴上的双曲线 C 焦点在y轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的双曲线8在ABC中，A=且三个内角的正弦值成等比数列，则其最小
3、角的正弦值（） A B C D 9若，则x1，x2，x3的大小关系是（） A x3x2x1 B x2x1x3 C x2x3x1 D x1x3x210平面上的点P（x，y），使关于t的二次方程t2+xt+y=0的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点P的集合在平面内的区域的形状是（） A B C D 二、填空题（每小题5分，共25分）11设x、y满足约束条件：，则Z=x+3y的最大值为12将a、b、c、d四个小球放入三个不同盒子，每个盒子至少放一个，且a、b不在同一个盒子中的方法有种13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为14O、A、B是平面上不共线三点，向量=，=，设P为线段AB垂直
4、平分线上任意一点，向量=，|=3，|=1，则（）的值为15已知函数f（x）=|x22ax+b|（xR），给出下列四个命题：f（x）必是偶函数；当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数；f（x）有最大值|a2b|其中所有真命题的序号是三、解答题（共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=cosx（sinxcosx）（）若0，且cos=，求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间17袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号若所取球的编号为偶数，
5、则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望18在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为等边三角形且侧棱与底面垂直，E是棱BB1上的点，AB=AA1，且平面A1EC平面AA1C1C（）证明：E为BB1的中点；（）求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的正弦值19从坐标原点O作曲线y=lnx的切线OP（P为切点），再过切点P引切线的垂线L，L与y轴的交点为Q（）求点P及点Q的坐标；（）证明：点P是曲线y=lnx上距离点Q最近的点20设椭圆M：的离心
6、率为，点A（a，0），B（0，b），原点O到直线AB的距离为（I）求椭圆M的方程；（）设点C为（a，0），点P在椭圆M上（与A、C均不重合），点E在直线PC上，若直线PA的方程为y=kx4，且，试求直线BE的方程21已知数列an满足a1=1，数列bn满足（1）求证：数列为等比数列，并求数列an的通项公式（2）求证：当n2时，（3）设数列bn的前n项和为sn，求证：当n2时，2014-2015学年安徽省黄山市七校高三（上）11月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1若复数Z满足（32i）Z=|4+3i|，则Z的虚部
7、为（） A B C D 考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 根据复数的基本运算以及复数的模长公式进行化简即可解答： 解：由（32i）Z=|4+3i|，得（32i）Z=5，即Z=+i，故Z的虚部为，故选：A点评： 本题主要考查复数的基本运算，比较基础2已知函数f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（2）=（） A B 2 C D 2考点： 函数奇偶性的性质专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 运用偶函数的定义：f（x）=f（x），则f（2）=f（2），再由小于0的解析式，代入计算即可得到解答： 解：函数f（x）为偶函数，即有f（x）=f（x），则f（2）
8、=f（2），当x0时，f（x）=x2+，即有f（2）=（2）2=故选A点评： 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题3函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为（） A B C 0 D 考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用函数y=Asin（x+）的图象变换可得函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案解答： 解：令y=f（x）=sin（2x+），则f（x+）=sin2（x+）+=sin（2x+），f（x+）为偶函数，+=k+，=
9、k+，kZ，当k=0时，=故的一个可能的值为故选B点评： 本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题4执行如图的程序框图，输出的T=（） A 12 B 20 C 42 D 30考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值，当T=30时，满足条件TS，输出T的值为30解答： 解：执行程序框图，有S=0，T=0，n=0不满足条件TS，S=5，n=2，T=2；不满足条件TS，S=10，n=4，T=6；不满足条件TS，S=15，n=6，T=12；不满足条件TS，S=20，n=8，T=20；不满足条件TS，S=25，n
10、=10，T=30；满足条件TS，输出T的值为30故选：D点评： 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5曲线（为参数）的对称中心（） A 在直线y=2x上 B 在直线y=2x上 C 在直线y=x3上 D 在直线y=x+3上考点： 参数方程化成普通方程专题： 坐标系和参数方程分析： 利用基本关系式的平方关系消去参数，得到一般方程，可知曲线为圆，则圆心为其对称中心，只要找出过圆心的直线即可解答： 解：曲线（为参数）消去得（x2）2+（y+1）2=1，此曲线是以（2，1）为圆心，1为半径的圆，所以它的对称中心为圆心（2，1），所以在直线y=x3上；故选C点评： 本题考查了圆的参数方程化为普
11、通方程的方法以及圆的对称中心是圆心，属于基础题6下列命题中，是平面与平面垂直判定定理的是（） A 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么两个平面相互垂直 B 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 C 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 D 如果一个平面内的一条直线垂直于另一平面的两条相交直线，那么这两个平面互相垂直考点： 平面与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 根据面面垂直的定义，性质及判定方法，逐一判断四个答案是否是面面垂直的判断定理，可得答案解答： 解：对于A，两个平面相交，如果它们所成的二面角是
12、直二面角，那么两个平面相互垂直，是面面垂直的定义，故错误；对于B，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，是面面垂直的判定定理，故正确；对于C，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，是面面垂直的性质定理，故错误；对于D，如果一个平面内的一条直线垂直于另一平面的两条相交直线，那么这两个平面互相垂直，是线面垂直的判定定理，和面面垂直的判定定理的综合应用，故错误；故选：B点评： 本题考查的知识点是面面垂直的定义，性质及判定方法，熟练掌握面面垂直的定义，性质及判定方法，是解答的关键7当0时，x2+y2cos=sin所表示的曲线是（） A 焦点
13、在x轴上的椭圆 B 焦点在x轴上的双曲线 C 焦点在y轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的双曲线考点： 椭圆的标准方程专题： 计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 将方程化为标准方程，将分母作差，运用正弦函数和余弦函数的图象和性质，即可比较大小，进而得到方程表示的几何图形解答： 解：方程x2+y2cos=sin，即为+=1，当0，则sin=由于sin0，0cos1，则sin0，即有sin则方程表示焦点在y轴上的椭圆故选C点评： 本题考查方程表示的几何图形，考查正弦和余弦函数的单调性和运用，考查运算能力，属于基础题8在ABC中，A=且三个内角的正弦值成等比数列，则其最小角的正
14、弦值（） A B C D 考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： 由在ABC中，A=且三个内角的正弦值成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，把sinA=1，sinC=cosB代入求出sinB的值即可解答： 解：设最小的角为B，根据题意得：sin2C=sinAsinB，把sinA=1，sinC=cosB代入得：cos2B=sinB，即sin2B+sinB1=0，解得：sinB=或sinB=（舍去），则其最小角的正弦值为，故选：B点评： 此题考查了正弦定理，等比数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键9若，则x1，x2，x3的大小关系是（） A x3x2x1 B
15、 x2x1x3 C x2x3x1 D x1x3x2考点： 对数值大小的比较专题： 数形结合分析： 欲比较x1，x2，x3的大小关系，利用对数函数的图象，先分别作出y=，y=logax，y=log（a+1）x的图象和一条在x轴上方且平行于x轴的直线，利用方程与函数的关系，数形结合发现它们交点的相对位置，进行x1，x2，x3大小比较的判定解答： 解：在同一坐标系中作出y=，y=logax，y=log（a+1）x的图象和一条在x轴上方且平行于x轴的直线，如下图，它们在第一象限内的三个交点的横坐标从左到右分别为x2，x3，x1，故它们的大小关系是x2x3x1故选C点评： 本题主要考查了函数的图象与图象
16、变化和数形结合思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质10平面上的点P（x，y），使关于t的二次方程t2+xt+y=0的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点P的集合在平面内的区域的形状是（） A B C D 考点： 函数的图象与图象变化专题： 计算题；数形结合分析： 先根据条件t2+xt+y=0的根都是绝对值不超过1的实数转化成t2+xt+y=0的根在1到1之间，然后根据根的分布建立不等式，最后画出图形即可解答： 解：t2+xt+y=0的根都是绝对值不超过1的实数，则t2+xt+y=0的根在1到1之间，即画出图象可知选项D正确故选D点评：
17、 本题主要考查了二次函数根的分布，以及根据不等式画出图象，同时考查数形结合的思想，属于基础题二、填空题（每小题5分，共25分）11设x、y满足约束条件：，则Z=x+3y的最大值为考点： 分段函数的应用专题： 不等式的解法及应用分析： 先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案解答： 解：如图即为满足的可行域，由图易得：当x=，y=时z=x+3y的最大值为，故答案为点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解12将a、b、c、d四个小球放入三个不同盒子
18、，每个盒子至少放一个，且a、b不在同一个盒子中的方法有30种考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C42，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A33种结果，而ab小球放在同一个盒子里有A33种结果，用所有的排列数减去不合题意的，得到结果解答： 解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C42，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A33种结果，而a、b小球放在同一个盒子里有A33=6种结果，a、b的小球不放到同一个盒子里的种数是C42A336=30，故答案为：30点评： 本题考查排列组合的实际应用，考查带有
19、限制条件的元素的排列问题，常采用间接法，属于与基础题13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由已知可得该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥的组合体，分别求出三棱柱和三棱锥的体积，相加可得答案解答： 解：由已知可得该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥的组合体，棱柱和棱锥的底面均为边长是2的等边三角形，故底面S=，三棱柱的高为2，故三棱柱的体积为：2，三棱锥的高也为2，故三棱柱的体积为：，故组合体的体积V=2+=，故答案为：点评： 本题考查三视图、三棱柱的体积，本试题考查了简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力
20、基础题14O、A、B是平面上不共线三点，向量=，=，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量=，|=3，|=1，则（）的值为4考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题；平面向量及应用分析： 直接按照数量积的定义公式不易求解，注意到P在线段AB的垂直平分线上，若设AB中点为M，则由向量的三角形法则，及向量的中点表示形式，结合斜率垂直的条件即为数量积为0，即可计算得到解答： 解：设AB中点为M，则 =+，=（），则（）=（+）=+=（）（）+0=（）=（）=（91）=4故答案为：4点评： 本题主要考查向量数量积的运算，考查转化计算能力，把要求的式子化为（+），是解题的关键15已知函数f（x）=|
21、x22ax+b|（xR），给出下列四个命题：f（x）必是偶函数；当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；若a2b0，则f（x）在区间a，+）上是增函数；f（x）有最大值|a2b|其中所有真命题的序号是考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义分析： 当a0时，f（x）不具有奇偶性，故不正确；令a=0，b=2，则f（x）=|x22|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x22|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，故不正确；若ba20，即f（x）的最小值ba20时，f（x）=（xa）2+（ba2），显然f（x）在a，+）上是增函数，故正确；又f（x
22、）无最大值，故不正确解答： 解：当a0时，f（x）不具有奇偶性，错误；令a=0，b=2，则f（x）=|x22|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x22|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，错误；又f（x）=|x22ax+b|=|（xa）2+ba2|，图象的对称轴为x=a根据题意a2b0，即f（x）的最小值ba20，f（x）=（xa）2+（ba2），显然f（x）在a，+）上是增函数，故正确；又f（x）无最大值，故不正确答案：点评： 本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答三、解答题（共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数f（x）=cosx（sin
23、xcosx）（）若0，且cos=，求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题： 三角函数的图像与性质分析： （I）由0，且cos=，可得代入f（x）即可得出（II）由函数f（x）=cosx（sinxcosx），利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=1即可得出解答： 解：（I）0，且cos=，f（）=cos（sincos）=（II）函数f（x）=cosx（sinxcosx）=sinxcosxcos2x=1=由，解得（kZ）函数f（x）的单调递减区间为（kZ）点评： 本题考查了三角函数的图象与性质，考查了计算能力
24、，属于基础题17袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式专题： 概率与统计分析： （1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A，利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出“第二次取球后才停止取球”的概率（2）由已知条件推导出X的可能取值为3，5，6，7，分别求出相对应的概率，由此
25、能求出X的分布列和数学期望EX解答： 解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，P（A）=（6分）（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球X的可能取值为3，5，6，7，P（X=3）=，P（X=5）=+=，P（X=6）=+=，P（X=7）=，X的分布列为：X 3 5 6 7P 数学期望EX=3+5+6+7=（12分）点评： 本题考查概率的求法，考查随机变量的分布列和数学期望，是中档题，解题时要认
26、真审题，注意排列组合思想的合理运用18在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为等边三角形且侧棱与底面垂直，E是棱BB1上的点，AB=AA1，且平面A1EC平面AA1C1C（）证明：E为BB1的中点；（）求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的正弦值考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）以A1为原点，A1C1为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明E为BB1的中点（2）求出平面A1EC的法向量和平面A1B1C1的法向量，利用向量法能求出平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的正弦值解答： （）证明：以A1为原点，A1C
27、1为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为等边三角形且侧棱与底面垂直，E是棱BB1上的点，AB=AA1，平面AA1C1C的法向量=（1，0，0），设AB=AA1=2，A1（0，0，0），C（0，2，2），设B1E=，E（），=（0，2，2），设平面A1EC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，1），平面A1EC平面AA1C1C，=0，B1E=1，E为BB1的中点（2）解：由（1）得平面A1EC的法向量=（0，1，1），又平面A1B1C1的法向量=（0，0，1），设平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的平面角为，cos=|cos，|=|=，
28、sin=，平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的正弦值为点评： 本题考查点为线段中点的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19从坐标原点O作曲线y=lnx的切线OP（P为切点），再过切点P引切线的垂线L，L与y轴的交点为Q（）求点P及点Q的坐标；（）证明：点P是曲线y=lnx上距离点Q最近的点考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间距离公式的应用专题： 导数的综合应用分析： （）求出函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的位置关系即可求点P及点Q的坐标；（）求出Q到直线OP的距离与|PQ|的关系即可得到结论解答： 解：（）函数的f（x）
29、的导数f（x）=，设切点为P（a，lna），则切线斜率k=，则切线方程为ylna=（xa）=x1，直线过原点，lna=1，解得a=e，即P（e，1）即切线方程为y1=（xe），过切点P引切线的垂线L，则垂线L的斜率k=e，则对应方程为y1=e（xe），令x=0，则y=1+e2，即Q的坐标为（0，1+e2）；（）由（）知过原点与y=lnx的切线方程为y=x，即xey=0，则Q到直线xey=0的距离d=e，而|QP|=e=d，点Q到直线OP的距离为|QP|，即点P是曲线y=lnx上距离点Q最近的点，点评： 本题主要考查导数的综合应用，利用导数求出切线斜率是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度20
30、设椭圆M：的离心率为，点A（a，0），B（0，b），原点O到直线AB的距离为（I）求椭圆M的方程；（）设点C为（a，0），点P在椭圆M上（与A、C均不重合），点E在直线PC上，若直线PA的方程为y=kx4，且，试求直线BE的方程考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）由=，得a=b，由点A（a，0），B（0，b），知直线AB的方程为，由此能求出椭圆M的方程（）由A、B的坐标依次为（2，0）、（0，），直线PA经过点A（2，0），即得直线PA的方程为y=2x4，因为，所以，由此能求出直线BE的方程解答： 解：（I）由=1=，得a=b
31、，由点A（a，0），B（0，b），知直线AB的方程为，于是可得直线AB的方程为xyb=0，因此=，解得b=，b2=2，a2=4，椭圆M的方程为（）由（I）知A、B的坐标依次为（2，0）、（0，），直线PA经过点A（2，0），0=2k4，得k=2，即得直线PA的方程为y=2x4，因为，所以kCPkBE=1，即，设P的坐标为（x0，y0），由，得P（），则，kBE=4，又点B的坐标为（0，），因此直线BE的方程为y=4x点评： 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化21已知数列an满足a1=1，数列bn满足（1）求证：数列为等比数
32、列，并求数列an的通项公式（2）求证：当n2时，（3）设数列bn的前n项和为sn，求证：当n2时，考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定专题： 综合题分析： （1）根据目标，可构造数列，只需对条件进行化简，从而求数列an的通项公式（2）利用数学归纳法证明，首先证明n=2时命题成立假设n=k（k2）时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立（3）当n2时，将其平方，再叠加即可证明解答： 解：（1）由题意，即an=n3n12（4分）（2）当n=2时，即n=2时命题成立假设n=k（k2）时命题成立，即当n=k+1时，=即n=k+1时命题也成立综上，对于任意n2，（8分）（3）当n2时，平方则叠加得，1（13分）点评： 本题主要考查构造法证明等比数列，从而求出数列的通项，对于不等式的证明由于与自然数有关，故通常可以利用数学归纳法进行证明
