1、二十七空间向量长度与夹角的坐标表示 (15分钟30分)1设(cos sin ，0，sin )，(0，cos ，0)，则|的最大值为()A1 B C2 D3【解析】选B.(cos sin ，cos ，sin )，所以|.2如图，在空间直角坐标系中有四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA2，E为PD的中点，则()A.2 B C D2【解析】选C.由题意可得B(2，0，0)，E(0，1，1)，则(2，1，1)，.3若向量a，b，且a，b夹角的余弦值为，则x等于()A2 B2C2或 D2或【解析】选C.cos a，b，解得x2或x.4已知a(2，4，x)，b(2，y
2、，2)，若|a|6，ab，则xy的值是_.【解析】因为a(2，4，x)，b(2，y，2)，|a|6，ab，所以，解得或，因此xy1或3.答案：3或15如图，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30.(1)求向量的坐标(2)求与的夹角的余弦值【解析】(1)过D作DEBC于E，则DECDsin 30，OEOBBD cos 601，所以D的坐标为D，又因为C(0，1，0)，所以.(2)由题意得A，所以，(0，2，0)，则与的夹角的余弦值为cos ，. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1ABC的顶点分别为A(1，1，2)，B(5，6，2
3、)，C(1，3，1)，则AC边上的高BD等于()A5 B C4 D2【解析】选A.设，其中R，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0，4，3)，所以x1，y41，z23.所以(4，45，3).所以4(45)3(3)0.所以，所以.所以|5.2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A.45 B60 C90 D120【解析】选B.令a，b，c，则|a|b|c|m(m0)，abbcca0，(ca)，bc，又|m，|BC1|m，所以cos ，所以直线EF和BC1所成的角为60.3已知ab(2，2)，a
4、b(0，0)，则cos a，b()A BC D【解析】选C.由已知，得a(1，)，b(1，0，)，所以cos a，b.4若a(1，1)，b(2，1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|()ABCD【解析】选C.因为ab12(1)(1)2，又因为ab|a|b|cos a，b，所以.解得2，所以|a|.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ab|的值可以为()A1 B C D【解析】选BC.因为ab(1t，1t，t)(2，t，t)(1t，12t，0)，所以|ab|，所以|ab|min.显然BC符合6
5、(2020葫芦岛高二检测)若a，b，a与b的夹角为120，则的值可以为()A17 B17 C1 D1【解析】选BC.由已知ab224，所以cos 120，解得17或1.三、填空题(每小题5分，共10分)7已知a，b，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_.【解题指南】利用空间向量的夹角为钝角求参数的取值范围，一般转化为两向量数量积为负，且两向量不共线，结合空间向量的坐标运算得出不等式组求解【解析】由题意可知ab0且a与b不共线，则ab32312x42.若a与b共线，则，得x，因为a与b不共线，则x，因此，实数x的取值范围是.答案：8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B
6、B1的中点，则cos EAF_，|EF|_【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系设正方体棱长为1，则E，F所以，所以cos ，所以cos EAF，|EF|.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9已知关于x的方程x2(t2)xt23t50有两个实根，a(1，1，3)，b(1，0，2)，catb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的条件下，求b和c夹角的余弦值【解析】(1)因为关于x的方程x2(t2)xt23t50有两个实根，所以(t2)24(t23t5)0，即4t.又c(1，1，3)t(1，0，2)(1t，1，32t)，所以|c|.因为t
7、时，上述关于t的函数是递减的，所以当t时，|c|取最小值.(2)当t时，c，所以cos b，c.10棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点(1)求证：EFCF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求|CE|的长【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G，所以，.(1)因为00，所以，即EFCF.(2)因为10，所以cos ，.(3)|.1在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长均为2，M是BC边的中点，则在棱CC1上_(填“存在”或“不存在”)点N，使得与所成的夹角为.【解析】以A为原点建立如图所
8、示的空间直角坐标系Axyz，由已知，棱长都等于2，所以A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，B1(，1，2)，M，假设存在点N在棱CC1上，可以设N(0，2，m)(0m2)，则有(，1，2)，所以|AB1|2，|，(，1，2)2m1，cos ，cos ，解得m.这与0m2矛盾，所以在棱CC1上不存在点N，使得与所成的夹角为.答案：不存在2已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).(1)若，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；(2)若，且2，求点P的坐标【解析】(1)(2，1，3)，(1，3，2).设a(x，y，z)，因为|a|，且a分别与，垂直，所以解得或所以a(1，1，1)或a(1，1，1).(2)因为，所以可设.因为(3，2，1)，所以(3，2，).又因为2，所以2，解得2.所以(6，4，2)或(6，4，2).设点P的坐标为(x，y，z)，则(x，y2，z3).所以或解得或故所求点P的坐标为(6，2，1)或(6，6，5).