1、三空间向量基本定理 (15分钟30分)1以下命题正确的是()A两个共线向量是指在同一直线上的两个向量B共线的两个向量是相等向量C共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量D共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量【解析】选D.根据共面与共线向量的定义可以判定2在下列条件中使M与A，B，C一定共面的是()ABC0D0【解析】选C.在C中，由0，得，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面；对于A，由，其系数和11111，不能得出M、A、B、C四点共面；对于B，由，其系数和1，所以M、A、B、C四点不共面；对于D，由0，得()，其系数和不为1，所以M、A、B、C四点不共面【补偿训练】点O为空间任意
2、一点，若，则A，B，C，P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断【解析】选B.因为点O为空间任意一点，1，所以由共面向量基本定理得A，B，C，P四点一定共面3若a，b，c是空间的一组基底，则下列各组中不能构成空间一组基底的是()Aa，2b，3c Bab，bc，caCa2b，2b3c，3a9c Dabc，b，c【解析】选C.对于A中a，2b，3c，B中ab，bc，ca，D中abc，b，c，每组都是不共面的向量，能构成空间的一组基底；对于C，a2b，2b3c，3a9c，满足3a9c3(a2b)(2b3c)，是共面向量，不能构成空间的一组基底4已知两非零向量e1，e2，且e1与e2
3、不共线，若ae1e2(，R，且220)，则下列结论有可能正确的是_(填序号)a与e1共线；a与e2共线；a与e1，e2共面【解析】当0时，ae2，故a与e2共线，同理当0时，a与e1共线，由ae1e2，知a与e1，e2共面答案：5已知正方体ABCDABCD，点E是AC的中点，点F是AE的三等分点，且AFEF，以、为基底表示.【解析】由条件AFEF知，EF2AF，所以AEAFEF3AF，所以()()(). (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()ABCD2【解析】选C.对于A，由结论xyz
4、(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于B，D，易知，共面，故只有C中，不共面2已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD，.则()AVA平面PMNBVA平面PMNCVA平面PMND无法判断VA与平面PMN的位置关系【解析】选B.如图，设a，b，c，则acb，由题意知bc，abc.因此，所以，共面又VA平面PMN，所以VA平面PMN.3给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一组基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一组基底，那么A，B，M，N共面；已知向
5、量组a，b，c是空间的一组基底，若mac，则a，b，m也是空间的一组基底其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选D.根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基底，否则就不能构成空间的一组基底显然正确，中由、共面且过相同点B，故A，B，M，N共面假设d与a，b共面，则存在实数，使dab，因为d与c共线，c0，所以存在实数k，使dkc，因为d0，所以k0，从而cab，所以c与a，b共面与条件矛盾所以d与a，b不共面同理可证也是正确的4已知正方体ABCDA1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有764，那么M必()A在平面BAD1内 B在平面BA1D内C在
6、平面BA1D1内 D在平面AB1C1内【解析】选C.由于76464646()4()1164，于是M，B，A1，D1四点共面二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5下列命题为真命题的是()A若pxayb，则p与a、b共面B若p与a、b共面，则pxaybC若xy，则P，M，A，B共面D若P，M，A，B共面，则xy【解析】选AC.若pxayb，则p与a，b肯定在同一平面内，故A对；若xy，则、三向量在同一平面内，所以P、M、A、B共面故C对；xy，若p与a、b共面，但如果a，b共线，p就不一定能用a、b来表示，故B不对；同理D也不对6下列命题错误的是(
7、)A若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线重合B若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面C若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面D已知空间的三个不共面向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc【解析】选ABC.a与b共线，a，b所在的直线也可能平行，故A不正确，符合题意；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故B不正确，符合题意；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故C不正确，符合题意；D选项为空间向量基本定理，故正确，不符合题意三、填空题(每小题5分，共10分)7已知O是空间任一点，A，
8、B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_【解析】(2x)(3y)(4z)，由A，B，C，D四点共面，得2x3y4z1，即2x3y4z1.答案：18已知空间向量，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60.点G为ABC的重心，若xyz，x，y，zR，则xyz_，|_【解题指南】运用共线向量和共面向量的知识可解决【解析】根据题意得，点G为ABC的重心，设BC中点为D，则()，所以()，所以，所以xyz，所以xyz1；|2，所以|.答案：1四、解答题(每小题10分，共20分)9如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且|B
9、E|BB1|，|DF|DD1|.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值【解析】(1)因为()().所以A、E、C1、F四点共面(2)因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.10如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1).(2)NC1【解析】(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.1设e1，e2，e3不共面，则下列向量组不共面的是_(填序号).ae13e2e3，b2e13e21
10、0e3，ce12e26e3；a2e1e23e3，b2e1e24e3，c3e1e22e3.【解析】因为e1，e2，e3不共面，ae13e2e3，b2e13e210e3，ce12e26e3，所以若a，b，c共面，则设cxayb，所以e12e26e3xe13xe2xe32ye13ye210ye3(x2y)e1(3x3y)e2(x10y)e3，所以无解，所以a，b，c不共面因为e1，e2，e3不共面，a2e1e23e3，b2e1e24e3，c3e1e22e3，所以若a，b，c共面，则设cxayb，所以3e1e22e32xe1xe23xe32ye1ye24ye3(2x2y)e1(xy)e2(3x4y)e3，所以无解，所以a，b，c不共面答案：2.如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1).(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？【解析】(1)因为k，k，所以kkk()k()kkk()(1k)k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面(2)当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN平面ABB1A1.综上，当k0时，MN在平面ABB1A1内；当0k1时，MN平面ABB1A1.