1、2016-2017学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中1三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A1条B2条C3条D1条或2条2已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或23已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）
2、A0个B1个C2个D3个4从原点向圆x2+y212x+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（）A30B60C90D1205已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EFAB，则EF与CD所成的角为（）A90B45C60D306三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为ABC的（）A内心B外心C垂心D重心7若动点P到点F（1，1）和直线3x+y4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A3x+y6=0Bx3y+2=0Cx+3y2=0D3xy+2=08若a2，0，1， ，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示的圆的个数为（）A0B1C
3、2D39已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）ABCD610如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A2B6C3D211如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（）A，1B，1C，D，112已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
4、A1B54C62D二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上.13若A（1，2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为14不论m为何值，直线（3m+4）x+（52m）y+7m6=0都恒过一定点，则此定点的坐标是15如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA平面AC，在满足条件PEDE的E点有两个时，a的取值范围是16若圆x2+y2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=xl对称，过点C（a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为17如图，在正方体ABCDABCD中，E，F分别是AA，C
5、C的中点，则下列判断中正确的是四边形BFDE在底面ABCD内的投影是正方形；四边形EBFD在底面ADDA内的投影是菱形；四边形EBFD在面ADDA内的投影与在面ABBA内的投影是全等的平行四边形三、解答题（本大题6个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）18（8分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：（1）E，F，D，B四点共面；（2）面AMN平面EFDB19（8分）求与圆（x2）2+y2=2相切且在x轴，y轴上截距相等的直线方程20（8分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半
6、径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为21（8分）已知实数x，y满足方程（x2）2+（y2）2=1（1）求的取值范围；（2）求|x+y+l|的取值范围22（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，PAB=60（1）证明AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角PBDA的正切值2016-2017学年安徽省芜湖市高二（上）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
7、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中1三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A1条B2条C3条D1条或2条【考点】平面的基本性质及推论【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，可知它们的交线情况，从而解决问题【解答】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线故选C【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题2已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关
8、系【分析】当k3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k30时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值【解答】解：由两直线平行得，当k3=0时，两直线的方程分别为 y=1 和 y=，显然两直线平行当k30时，由 =，可得 k=5综上，k的值是 3或5，故选 C【点评】本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想3已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，=n，则mn，其中不正确的命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个【考点】平面与平面平行的判定【分析】从直线与平面平行和垂直
9、的判定定理，以及性质定理，对四个选项逐一判断；判断时通过反例即可【解答】解：真命题有直线与平面垂直的判定定理之一；两个平面平行的判定之一；直线与平面垂直推出平面与平面垂直判定是假命题，m、n可以是异面直线故选B【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，平面与平面垂直的判定，直线与直线平行的判定，是基础题4从原点向圆x2+y212x+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（）A30B60C90D120【考点】圆的切线方程【分析】先求圆心和半径，再求切线的长，然后再求两条切线的夹角的大小【解答】解：设原点为O，圆心为P（0，6），半径是PA=3，切点为A、B，则OP=6，在RtAOP中，AOP
10、=，则这两条切线的夹角的大小为，故选B【点评】本题考查圆的切线方程，直线的夹角的求法，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题5已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EFAB，则EF与CD所成的角为（）A90B45C60D30【考点】异面直线及其所成的角【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得GFAB，GECD，则GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EFAB，在GEF中，利用三角函数即可得到答案【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中线GFAB，且GF=AB=1，GECD，且
11、GE=CD=2，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EFAB，GFAB，EFGF则GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，GFE=90在直角GEF中，sinGEF=GEF=30故选D【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用三角形中位线定理，得到GFAB，GECD，进而得到GFE即为EF与CD所成的角，是解答本题的关键6三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为ABC的（）A内心B外心C垂心D重心【考点】平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征【分析】先画出图形，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据BC面APH，而AH面APH，推出AHBC，同理可推出
12、CHAB，得到H为ABC的垂心【解答】解：如图所示，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则AP面PBC，而BC平面PBCAPBC而PH面ABC，BC面ABCPHBC，又APPH=P，BC面APH，而AH面APHAHBC，同理可得CHAB故H为ABC的垂心故选：C【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题7若动点P到点F（1，1）和直线3x+y4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A3x+y6=0Bx3y+2=0Cx+3y2=0D3xy+2=0【考点】与直线有关的动点轨迹方程；两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式【
13、分析】因为点F（1，1）在直线3x+y4=0，所以点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，由点斜法写出即可【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y4=0的斜率为3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y1=（x1）即x3y+2=0故选B【点评】本题考查轨迹方程的求法、两条直线垂直的应用、直线的点斜式方程等，注意点P的轨迹不是抛物线8若a2，0，1， ，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示的圆的个数为（）A0B1C2D3【考点】圆的标准方程【分析】方程即（x）2+（y+a）2=
14、1aa2 ，把a的值逐一代入检验，可得结论【解答】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0 即方程（x）2+（y+a）2=1aa2 ，可以表示以（，a）为圆心、半径为的圆当a=2时，圆心（1，2）、半径为0，不表示圆当a=0时，圆心（0，0）、半径为1，表示一个圆当a=1时，圆心（，1）、1aa20，不表示圆当a=时，圆心（，）、1aa20，不表示圆综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，故选：B【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题9已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）ABCD6【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图及题设条件知
15、，此几何体为一个正三棱柱，其高已知，底面正三角形的高已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可【解答】解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a，则，a=6故体积故答案为C【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能10如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）
16、射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A2B6C3D2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】设点P关于y轴的对称点P，点P关于直线AB：x+y4=0的对称点P，由对称特点可求P和P的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|PP|【解答】解：点P关于y轴的对称点P坐标是（2，0），设点P关于直线AB：x+y4=0的对称点P（a，b），解得，光线所经过的路程|PP|=2，故选A【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在
17、反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|PP|的长度，属于中档题11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（）A，1B，1C，D，1【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是不妨取AB=2在RtAOA1中， =sinC1OA1=sin（2AOA1）=sin2AOA1=2sinAOA1cosAOA1=，=1sin的取值范围是故选：B
18、【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题12已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，
19、|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|31=4=4=54故选：B【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上.13若A（1，2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为（0，0，3）【考点】点、线、面间的距离计算【分析】由点P在z轴上且到A、B两点的距离相等，可设出点P（0，0，z），由两点间的距离公式建立方程求解即可得到点M的坐标【解答】解
20、：设P（0，0，z），由|PA|=|PB|，得1+4+（z1）2=4+4+（z2）2，解得z=3，故点P的坐标为（0，0，3），故答案为：（0，0，3）【点评】本题考点是点线面间的距离计算，考查用两点间距离公式建立方程求参数，两点间距离公式是一个重要的把代数与几何接合起来的结合点，通过它进行数形转化14不论m为何值，直线（3m+4）x+（52m）y+7m6=0都恒过一定点，则此定点的坐标是（1，2）【考点】恒过定点的直线【分析】直线的方程可化为：（3x2y+7）m+（4x+5y6）=0，不论m为何实数，直线l恒过直线3x2y+7=0和4x+5y6=0的交点，解方程组求得坐标【解答】解：直线L的
21、方程可化为：（3x2y+7）m+（4x+5y6）=0 令：3x2y+7=0且4x+5y6=0 解得：x=1，y=2，直线恒过定点（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查直线过定点问题，令参数m的系数等于零，求得x和y的值，即可得到定点的坐标，属于基础题15如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA平面AC，在满足条件PEDE的E点有两个时，a的取值范围是a6【考点】点、线、面间的距离计算【分析】由题意可得，DEAE，要使满足条件PEDE的E点有两个，则，即可求得a6【解答】解：如图，PA平面AC，PADE，又PEDE，且PEPA=P，DE平面PAE，DEAE要使满足条件
22、PEDE的E点有两个，则，即a6故答案为：a6【点评】本题考查空间中点、线、面间距离的计算，考查空间想象能力和思维能力，体现了数学转化思想方法，是中档题16若圆x2+y2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=xl对称，过点C（a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为y2+4x4y+8=0【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出过点C（a，a）的圆P与y轴相切，就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离，即可求出圆心P的轨迹方程【解答】解：圆x2+y2ax+2y+1=0的圆心（，1），因为圆x2+y
23、2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x1对称，所以（，）满足直线y=x1方程，解得a=2，过点C（2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）所以=|x|，故圆心P的轨迹方程为：y2+4x4y+8=0故答案为：y2+4x4y+8=0【点评】本题是中档题，考查圆关于直线对称的圆的方程，动圆圆心的轨迹方程问题，考查转化思想，按照轨迹方程求法步骤解答，是常考题17如图，在正方体ABCDABCD中，E，F分别是AA，CC的中点，则下列判断中正确的是四边形BFDE在底面ABCD内的投影是正方形；四边形EBFD在底面ADDA内的投影是菱形；四边形EBFD在面ADDA内的投影与在面ABB
24、A内的投影是全等的平行四边形【考点】命题的真假判断与应用【分析】运用投影的概念，可得四边形BFDE在底面ABCD内的投影为BCDA，即可判断；四边形BFDE在底面ADDA内的投影为AMDE，AMAE，则为平行四边形，即可判断；四边形BFDE在面ABBA内的投影是BNAE，BEBN，则为平行四边形，即可判断【解答】解：对于，由投影的概念可得四边形BFDE在底面ABCD内的投影为BCDA，是正方形，则对；对于，四边形BFDE在底面ADDA内的投影为AMDE，AMAE，则为平行四边形，则错；对于，四边形BFDE在面ABBA内的投影是BNAE，BEBN，则为平行四边形，且与平行四边形AMDE全等，则对
25、故答案为：【点评】本题考查正方体中的投影问题，考查空间想象能力，属于基础题三、解答题（本大题6个小题，共44分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）18如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：（1）E，F，D，B四点共面；（2）面AMN平面EFDB【考点】平面与平面平行的判定；平面的基本性质及推论；直线与平面平行的性质【分析】（1）由E，E分别是B1C1，C1D的中点，知EFB1D1，从而得到EFBD，由此能证明E，F，B，D，四点共面（2）由题设条件推导出MNEF，ANCF，由此能够证明面MAN面EFDB
26、【解答】证明：（1）E，E分别是B1C1，C1D1的中点，EFB1D1，B1D1BD，EFBD，E，F，B，D，四点共面（2）M，N分别是A1B1，D1A1的中点，MNB1D1，EFB1D1，MNEF，F，N分别是D1C1、A1B1的中点，NFA1D1，NFAC，四边形NFCA是平行四边形，ANCF，MNAN=N，EFDF=F，面MAN面EFDB【点评】本题考查四点共面的证明，考查两个平面平行的证明解题时要认真审题，注意中位线定理和平行公理的合理运用19求与圆（x2）2+y2=2相切且在x轴，y轴上截距相等的直线方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程【分析】直线在x轴，y轴上截距相等，即
27、直线过原点，或直线斜率为1，进而得到答案【解答】解：若直线在x轴，y轴上截距相等，则直线过原点，或直线斜率为1，当直线过原点时，设直线方程为：y=kx，即kxy=0，则由直线与圆（x2）2+y2=2相切得：，解得：k=1，即直线方程为：xy=0，或x+y=0；当直线斜率为1时，设直线方程为：x+y+C=0；则由直线与圆（x2）2+y2=2相切得：，解得：C=0，或C=4，即直线方程为：x+y4=0，或x+y=0；综上可得直线方程为：xy=0，x+y4=0，或x+y=0；【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线方程，点到直线的距离公式，难度中档20如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个
28、顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为【考点】球内接多面体【分析】根据已知，求出侧面ABB1A1的长和宽，代入矩形面积，可得答案【解答】解：直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，故B1C=2，侧面BCC1B1边长为，故AB=AC=1，故侧面ABB1A1的面积S=ABAA1=1=，故答案为：【点评】本题考查与球有关的几何体的问题，考查勾股定理，空间点、线、面的位置关系的应用21已知实数x，y满足方程（x2）2+（y2）2=1（1）求的取值范围；（2）求|x+y+l|的取值范围【考点】圆的标准方
29、程【分析】（1）由题意画出图形，利用的几何意义，即圆上动点与定点（0，1）的斜率求答案；（2）|x+y+l|=，的几何意义为圆上的动点到直线x+y+1=0的距离圆心到直线的距离加上半径为最大值，圆心到直线的距离减半径长为最小值，则答案可求【解答】解：（1）（x2）2+（y2）2=1表示以（2，2）为圆心，以1为半径的圆，而的几何意义为圆上动点与定点（0，1）的斜率，如图，设过（0，1）且与圆相切的直线方程为y=kx+1，即kxy+1=0由圆心（2，2）到直线kxy+1=0的距离d=，解得k=0或k=0，；（2）|x+y+l|=，的几何意义为圆上的动点到直线x+y+1=0的距离圆心到直线的距离加
30、上半径为最大值，圆心到直线的距离减半径长为最小值，由此，则|x+y+l|5，5+【点评】本题考查圆的标准方程，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题22（12分）（2016秋芜湖期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，PAB=60（1）证明AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角PBDA的正切值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（）通过就是PA2+AD2=PD2，证明ADPA结合ADAB然后证明AD平面PAB（）说明PCB（或其补角）是异面直
31、线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB，判断PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值（）过点P做PHAB于H，过点H做HEBD于E，连结PE，证明PEH是二面角PBDA的平面角RTPHE中，【解答】（）证明：在PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是ADPA在矩形ABCD中，ADAB又PAAB=A，所以AD平面PAB（）解：由题设，BCAD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得由（）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：（）解：过点P做PHAB于H，过点H做HEBD于E，连结PE因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH又ADAB=A，因而PH平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，BDPE，从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，于是再RTPHE中，所以二面角PBDA的正切函数值为【点评】本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力