1、2021年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学质量监测试卷（理科）（二模）一、选择题（每小题5分）.1已知集合My|yx2，xR，Nx|1x2，则MN（）A（1，2B0，2C（1，0D（1，0）2已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，且（2i）z1|43i|，则z2（）A2iB2+iC2iD2+i3设a，b为两条直线，则ab的充要条件是（）Aa，b垂直于同一条直线Ba，b垂直于同一个平面Ca，b平行于同一个平面Da，b与同一个平面所成角相等4函数f（x）xcosx在（，）上的图象大致为（）ABCD5已知sin（），则cos（+2）的值为（）ABCD6若（x+）n的展开式中存在常数项，则
2、n可以是（）A8B7C6D572020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活世界性与区域性温度的异常、早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y拟合，设zlny，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6由上表可得线性回归方程0.2x+a，则c1（）A2Be2 C3De38小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（）A10种B15种C21种D28种9我国的古代医学著作神农本草经中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效蜜蜂的
3、蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小角的余弦值约为（）（参考数据：1.414，1.732）A0.333B0.4C0.5D0.66710已知ABC中，ACB，ACCD，则sinA的值为（）ABCD11过抛物线C：y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为点M，N，若AFM与BFN的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A1BC2D212已知a0，b0，下列说法错误
4、的是（）A若0ab1，则B若2aea3beb，则abCab+ba1恒成立Da（0，1），使得aea二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知平面向量（1，），（3，），若（），则实数的值为 14设变量x，y满足，则目标函数z3x+2y的最小值为 15曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小已知椭圆C：1（ab0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为Ra2b2若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为 16球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺
5、的体积公式V，其中R为球的半径，h为球缺的高若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知等差数列an的前n项和为Sn，a35，且an+1an4Sn1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn.若nN*，Tnm2+2m（m为奇数），求m的值18如图，六面体ABCDEFG中，BE面ABC且BE面DEFG，DGEF，EDDGGF1，ABBCCAEF2（1）求证：DF平
6、面ABED；（2）若二面角ADGE的余弦值为，求点C到面BDF的距离19为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布长江十年禁渔计划某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第i天选择汽修培训的概率是pi（i1，2，3，7）（1）求p3；（2）证明：pi0.5（i1，2，3，7）
7、为等比数列；（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作0）20已知双曲线1（b1）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B（1）设O为坐标原点，求线段OP的长度；（2）求证：PF平分BFA21已知函数f（x）xlnxax2+（2a1）x+a，其中a为常数（1）当a0时，求f（x）的极值；（2）当a时，求证：对x1x2，且x1，x2（0，+），不等式恒成立（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线
8、C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（R，0，），且直线C2与曲线C1交于A，B两点（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）当|AB|最小时，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+4|+|x|（1）解不等式f（2x1）6；（2）记函数f（x）的最小值为a，且m2+n2，其中m，n均为正实数，求证：参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合My|yx2，xR，Nx|1x2，则MN（）A（1，2B0，2C（1，0D（1，0）解：My|y0，Nx|1x2，MN（1，0故选：C2已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对
9、称，且（2i）z1|43i|，则z2（）A2iB2+iC2iD2+i解：因为（2i）z1|43i|，所以，因为复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z22i故选：A3设a，b为两条直线，则ab的充要条件是（）Aa，b垂直于同一条直线Ba，b垂直于同一个平面Ca，b平行于同一个平面Da，b与同一个平面所成角相等解：A：若a，b都垂直同一直线，则a，b可能相交，平行，异面，故A错误，B：由ab，得a，b垂直于同一个平面，是充分条件， 若a，b垂直于同一个平面，则ab，是必要条件，正B确，C：若a，b平行于同一平面，则a，b可能相交，平行，异面，故C错误，D：若a，b与同一平面所成角相等
10、，则a，b可能相交，故D错误，故选：B4函数f（x）xcosx在（，）上的图象大致为（）ABCD解：因为函数f（x）xcosx，所以f（x）xcosx+（xcosx）f（x），故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故选项A，B错误；当x0时，xcosx0，故选项C错误，选项D正确故选：D5已知sin（），则cos（+2）的值为（）ABCD解：sin（），sin（+）cos（+），cos（+2）2121故选：C6若（x+）n的展开式中存在常数项，则n可以是（）A8B7C6D5解：（x+）n的通项公式为 Tr+12r，若展开式中存在常数项，则n0能成立，即3n4r，r0，1，2，n，n4，8，
11、12，16，故选：A72020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活世界性与区域性温度的异常、早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y拟合，设zlny，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6由上表可得线性回归方程0.2x+a，则c1（）A2Be2 C3De3解：由已知可得，代入0.2x+a，得a30.2252，zlnyln（）c2x+lnc1，则lnc12，即故选：B8小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法
12、有（）A10种B15种C21种D28种解：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，6个小球、2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有C8628种；故选：D9我国的古代医学著作神农本草经中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小
13、角的余弦值约为（）（参考数据：1.414，1.732）A0.333B0.4C0.5D0.667解：如图所示：EFAC且EFAC，在EGF中，EGF120，EGEF4，EF4，ABBC4.242，在ABC中，cosABC0.333，所以菱形较小角的余弦值为0.333故选：A10已知ABC中，ACB，ACCD，则sinA的值为（）ABCD解：因为，所以D为AB的一个三等分点，且靠近B点，所以AD2BD，因为ACB，ACCD，所以ACD，BCD，在ACD中，由正弦定理可得，在BCD中，由正弦定理可得，所以，即sinBsinA，又在ABC中，A+BACB，所以sinBsin（A）cosAsinAsin
14、A，整理可得cosAsinA，即cosA3sinA，又sin2A+cos2A1，所以10sin2A1，解得sinA，因为0A，所以sinA故选：B11过抛物线C：y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为点M，N，若AFM与BFN的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A1BC2D2解：抛物线C：y22px（p0）的焦点F为（，0），由于直线AB过点F，设直线AB的方程为yk（x），AFMBFN，且4，|AF|2|BF|，由抛物线的性质可得，设直线AB的倾斜角为，则kABtan，由抛物线的焦点弦推论可得：AF，所以，故cos，所以sin，则ta
15、n，当|AF|BF|时，tan，故选：D12已知a0，b0，下列说法错误的是（）A若0ab1，则B若2aea3beb，则abCab+ba1恒成立Da（0，1），使得aea解：对于A：0ab1，所以1a1b，因为ba，所以b1aa1b，所以，故A正确；对于B：设f（x）xex，则f（x）（x+1）ex，所以x（0，+）上单调递增，因为2aea3beb，所以，所以aeabeb，所以ab，故B正确；对于C：已知a0，b0，所以，当且仅当ab时，等号成立，当0a1时，成立，故C正确；对于D：令yxex，则yexxex（1x）ex，因为x（0，1），所以yxex单调递增，则不存在aea，故D错误故选：D
16、二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知平面向量（1，），（3，），若（），则实数的值为解：根据题意，向量（1，），（3，），则（2，），若（），则有2，解可得，故答案为：14设变量x，y满足，则目标函数z3x+2y的最小值为8解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z3x+2y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为8故答案为：815曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小已知椭圆C：1（ab0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为Ra2b2若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是
17、最小值的8倍，则椭圆C的离心率为解：因为点P在椭圆上，则，即y，所以，因为x，所以，则（），所以R，因为曲率半径最大值是最小值的8倍，所以，即a38b3，所以a2b，则椭圆的离心率为e，故答案为：16球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式V，其中R为球的半径，h为球缺的高若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为解：如图，取BC的中点E，AC的中点F，ABCD的中心为O，连接OP，OE，OF，一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，可得OPOCOAOBOD3，OEOF3，所以PAB
18、CD的球O的半径为3，PBC是正三角形，边长为6，中心为G，连接PE，PG，EG，OG，所以球缺的高为：3，该球与该正四棱锥的公共部分的体积为：故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知等差数列an的前n项和为Sn，a35，且an+1an4Sn1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn.若nN*，Tnm2+2m（m为奇数），求m的值解：（1）设数列an的公差为d，令n2，则a2a34S21，由a35，得5（5d）4（103d）1，
19、解得d2，所以an2n1（2），可知恒成立，又m是奇数，所以m118如图，六面体ABCDEFG中，BE面ABC且BE面DEFG，DGEF，EDDGGF1，ABBCCAEF2（1）求证：DF平面ABED；（2）若二面角ADGE的余弦值为，求点C到面BDF的距离解：（1）证明：因为BE面ABC且BE面DEFG，所以DEBE且ABBE，于是，在面ABDE中，DEAB，同理，EFBC，所以DEFABC60，又EF2DE，所以DFDE，由BE面DEFG，知DFBE，又因为EDBEE，所以DF面ABED（2）取AB中点O，由题可知，DEOB且DEOB，所以四边形OBED为平行四边形，所以ODBE，于是OD
20、面ABC，又ABC为正三角形，所以OC，OA，OD两两垂直以O为坐标原点，OC，OA，OD分别为x，y，z正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设BEa（a0），则O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，0，a），G（，a），F（，0，t），设面ADG的法向量为，则有，不妨设，得又BE与面DEFG垂直，故面DEFG的法向量不妨设为，由，解得a2设面BDF的法向量为，则有，不妨设y2，得于是，点C到面BDF的距离19为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布长江十年禁渔计划某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔
21、民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第i天选择汽修培训的概率是pi（i1，2，3，7）（1）求p3；（2）证明：pi0.5（i1，2，3，7）为等比数列；（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作0）解：（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，所以p11，p20.6，p30.60.6+0
22、.40.40.52；（2）当第i1天选择汽修培训时，第i天选择汽修培训的概率为0.6pi1，当第i1天选择面点培训时，第i天选择汽修培训的概率为0.4（1pi1），则pi0.6pi1+0.4（1pi1）0.2pi1+0.4，而pi0.50.2（pi10.5），所以pi0.5是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；（3）设第i天政府的补贴费为ai，则ai300pi+200（1pi）100pi+200，而，所以，故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为a1+a2+a71812.5元20已知双曲线1（b1）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与
23、双曲线的左支交于点B（1）设O为坐标原点，求线段OP的长度；（2）求证：PF平分BFA【解答】（1）解：不妨设P在第二象限，则渐近线OP的方程为ybx，于是直线PF的方程为，联立得，于是，；（2）证明：设直线PF的倾斜角为，则，又A（1，0），所以直线AP的斜率为，直线AP的方程为，与双曲线联立得：（c2+2c）x2+2x（c2+2c+2）0，于是，又F（c，0），因此直线BF的斜率为，故PF平分BFA21已知函数f（x）xlnxax2+（2a1）x+a，其中a为常数（1）当a0时，求f（x）的极值；（2）当a时，求证：对x1x2，且x1，x2（0，+），不等式恒成立【解答】（1）解：当a0时
24、，f（x）xlnxx，f（x）lnx，当x（0，1）时，f（x）0，即f（x）在（0，1）上单调减；当x（1，+）时，f（x）0，即f（x）在（1，+）上单调增 f（x）的极小值为f（1）1，无极大值 （2）证明：根据题意，要证明对x1，x2（0，+），且x1x2，等价于证明设，由单调性的定义得要证明原不等式等价于证明在（0，+）上单调递减 即证在（0，+）上恒成立，即证，只需证明等价于证明 设，令，则t1，只需证当t1时，g（t）0 因为，所以g（t）单调递减，所以g（t）g（1）0，故原不等式成立 （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修
25、4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（R，0，），且直线C2与曲线C1交于A，B两点（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）当|AB|最小时，求的值解：（1）由题，故（x1）2+（y1）24，即x2+y22x2y20，则22cos2sin20，即 （2）法一：设A（1，），B（2，），由（1），122则，当且仅当时，|AB|最小，此时，（kZ）因为0，），故 法二：设圆心C1到直线C2的距离为d，则，又，当且仅当OC1与直线C2垂直时等号成立，此时|AB|最小，因为，0，），故 选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+4|+|x|（1）解不等式f（2x1）6；（2）记函数f（x）的最小值为a，且m2+n2，其中m，n均为正实数，求证：【解答】（1）解：令g（x）f（2x1）|2x+3|+|2x1|，当时，g（x）（2x+3）（2x1）4x26x2，则，当时，g（x）（2x+3）（2x1）46，则，当时，g（x）（2x+3）+（2x1）4x+26x1，则，综上：不等式的解集为2，1 （2）证明：因为f（x）|x+4|+|x|x+4x|4，则a4，m2+n21，则，又1m2+n22mn（当且仅当时取等号），则，则，故得证